問題 23

問題023｜複素数と方程式

難易度 D 目安 60分

前半戦

実数係数の4次方程式

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

は，4つの実数でない複素数解をもつ．そのうち2つの解の積が $13 + i$ ，残り2つの解の和が $3 + 4 i$ であるとき， $b$ を求めよ．ただし， $i$ は虚数単位である．

出典：AIME 1995，第5問．

$a^{3} - a - 1 = 0$ とする． $a + \sqrt{2}$ を解にもつ，最高次の係数が1である整数係数の6次方程式を1つ求めよ．

出典：日本数学オリンピック（JMO）1997年予選，第6問（次数を指定）．

後半戦

複素数係数の多項式 $P, Q, R$ に対し，

S (x) = P (x^{3}) + x Q (x^{3}) + x^{2} R (x^{3})

が，互いに異なる $n$ 個の解 $α_{1}, \dots, α_{n}$ をもつ $n$ 次多項式であるとする． $α_{1}^{3}, \dots, α_{n}^{3}$ を重複も含めて解にもつ $n$ 次多項式を， $P, Q, R$ を用いて構成せよ．

出典：IMO 1970 Shortlist，第11問（スウェーデン提案）．

最高次の係数が1である整数係数の多項式 $f (x)$ について，1次以上の整数係数多項式 $g (x), h (x)$ を用いて

f (x)^{3} - 2 = g (x) h (x)

と表せるという．このような $f (x)$ のうち，次数が最小となるものを1つ求め，それより低い次数では不可能であることを示せ．

出典：日本数学オリンピック（JMO）2003年予選，第12問（最小性の証明を付加）．

ヒント設問 1

ヒント 0

実数係数の方程式では，実数でない解とその共役複素数が対になって現れる．積が $13 + i$ となる2つは，共役な組だろうか．

ヒント 1

積が $13 + i$ となる2解を $α, β$ とおく．残りの2解は $\overset{―}{α}, \overset{―}{β}$ だから， $α + β = 3 - 4 i$ である．2つの2次式の積を考えよ．

ヒント設問 2

ヒント 0

$x = a + \sqrt{2}$ とおき， $a = x - \sqrt{2}$ を与えられた3次方程式へ代入する．

ヒント 1

代入して整理すると， $x^{3} + 5 x - 1 = (3 x^{2} + 1) \sqrt{2}$ となる．両辺を2乗して整数係数の式を作ろう．

ヒント設問 3

ヒント 0

1の原始3乗根 $ω$ を使うと， $x^{3} - α^{3} = (x - α) (ω x - α) (ω^{2} x - α)$ と表せる．

ヒント 1

$S (x) S (ω x) S (ω^{2} x)$ を計算する．恒等式 $(A + B + C) (A + ω B + ω^{2} C) (A + ω^{2} B + ω C) = A^{3} + B^{3} + C^{3} - 3 A B C$ が使える．

ヒント設問 4

ヒント 0

$f$ が1次なら $f (x)^{3} - 2$ は3次である．整数係数の2つの非定数多項式に分解できるなら，1次の因数をもつことになる．

ヒント 1

2次式を探す際， $x^{3} - 6 x + 6$ で割った余りを利用して， $(x^{2} + u x + v)^{3} - 2$ がこの3次式で割り切れる $u, v$ を考えてみよう．

解答設問 1

積が $13 + i$ となる2解を $α, β$ とする．もし $β = \overset{―}{α}$ なら積は実数となるので，この2解は共役な組ではない．実数係数であることから，残りの2解は重複も含めて $\overset{―}{α}, \overset{―}{β}$ である．したがって，

α + β = 3 - 4 i, α β = 13 + i

となり，元の多項式は

{x^{2} - (3 - 4 i) x + 13 + i} {x^{2} - (3 + 4 i) x + 13 - i}

に等しい． $x^{2}$ の係数を比較すれば，

b = (13 + i) + (13 - i) + (3 - 4 i) (3 + 4 i) = 26 + 25 = 51

を得る．

解答設問 2

$x = a + \sqrt{2}$ とおくと $a = x - \sqrt{2}$ なので，

(x - \sqrt{2})^{3} - (x - \sqrt{2}) - 1 = 0

である．整理して

x^{3} + 5 x - 1 = (3 x^{2} + 1) \sqrt{2}

を得る．両辺を2乗すれば，

(x^{3} + 5 x - 1)^{2} - 2 (3 x^{2} + 1)^{2} = 0

となる．したがって，求める方程式の一例は

x^{6} - 8 x^{4} - 2 x^{3} + 13 x^{2} - 10 x - 1 = 0

である．実際，左辺は最高次係数1の整数係数6次多項式であり，上の計算により $x = a + \sqrt{2}$ を代入すると0になる．2乗によって別の解が加わっても，指定された数を解にもつという条件には影響しない．

解答設問 3

$ω^{3} = 1, ω \neq 1$ とし， $S$ の最高次係数を $c \neq 0$ とする．因数分解により，

S (x) S (ω x) S (ω^{2} x) = c^{3} \prod_{j = 1}^{n} (x^{3} - α_{j}^{3})

である．一方， $A = P (x^{3}), B = x Q (x^{3}), C = x^{2} R (x^{3})$ とおけば，左辺は

(A + B + C) (A + ω B + ω^{2} C) (A + ω^{2} B + ω C) = A^{3} + B^{3} + C^{3} - 3 A B C

に等しい．よって，

T (t) = P (t)^{3} + t Q (t)^{3} + t^{2} R (t)^{3} - 3 t P (t) Q (t) R (t)

と定めると，

T (x^{3}) = c^{3} \prod_{j = 1}^{n} (x^{3} - α_{j}^{3})

が恒等的に成り立つ．したがって $T (t) = c^{3} \prod_{j = 1}^{n} (t - α_{j}^{3})$ であり， $T$ は求める $n$ 次多項式である．異なる $α_{j}$ の3乗が一致する場合も，その重複度はこの積にそのまま反映される．

解答設問 4

まず，

f (x) = x^{2} + x - 4

を考える．実際に展開すると，

(x^{2} + x - 4)^{3} - 2 = (x^{3} - 6 x + 6) (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 11)

が成り立つので，この2次式は条件を満たす．

次に，これより低い次数を除外する．0次で最高次係数が1なら $f (x) = 1$ であり， $f (x)^{3} - 2 = - 1$ は2つの非定数多項式の積にはならない．1次の場合は $f (x) = x + m$ （ $m$ は整数）と書ける．もし $(x + m)^{3} - 2$ が整数係数の2つの非定数多項式に分解できるなら，その次数は1と2である．最高次係数の積が1なので，符号を調整すれば1次因数は $x - r$ （ $r$ は整数）と書ける．すると $(r + m)^{3} = 2$ となるが，3乗して2になる整数は存在しない．したがって1次も不可能であり，最小次数は $2$ である．

DISCUSSION

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