問題024｜高次方程式と解の個数

$x=0$ は解ではないので，両辺を $x^2$ で割り，$t=x+1/x$ とおく．実数 $x$ に対する $t$ の範囲も確認しよう．

$t^2+at+b-2=0$ の2解が，どちらも $t<-2$ または $t>2$ を満たし，相異なることが必要十分である．2解が左右に分かれる場合と，同じ側にある場合を分ける．

$f(x)=x$ の解は必ず $f(f(x))=x$ の解でもある．4次式を $x^2-x-a$ で割ってみよう．

もう一方の因数は $x^2+x+1-a$ となる．それぞれの判別式に加えて，両因数が共通解をもつ場合を調べる．

倍角公式 $(2\cos \theta {)}^2-2=2\cos 2\theta$ を使い，$P_n(2\cos \theta )$ を表そう．

$N=2^n$ とし，$\theta =k\pi /N$（$k=0,\dots ,N$）で $P_n(2\cos \theta )-2\cos \theta$ の符号を調べる．$x=2$ が解であることにも注意する．

$z^{n-2}(z^2-1)=z-2$ と変形し，$|z|=1$ を使って両辺の絶対値を比較する．

$s=z+\bar{z}$ とおくと，$|z^2-1{|}^2=4-s^2$，$|z-2{|}^2=5-2s$ である．これらが等しいことから $z$ の候補を絞り，元の式へ戻す．

$x\ne 0$ なので $t=x+1/x$ とおくと，元の方程式は

となる．逆に $x^2-tx+1=0$ は，$|t|>2$ なら異なる2つの実数解を，$|t|=2$ なら1つの実数解をもち，$|t|<2$ なら実数解をもたない．異なる $t$ から同じ $x$ は生じないので，求める条件は $g(t)=0$ が領域 $|t|>2$ に異なる2解をもつことである．

2解が $-2$ の左と $2$ の右に分かれる条件は，$g(-2)<0,g(2)<0$ である．すなわち，

したがって $b<-2-2|a|$ を得る．

2解がともに $2$ より大きい条件は，軸が $2$ より右にあり，$g(2)>0$，判別式が正であることだから，

となる．同様に，2解がともに $-2$ より小さい条件は，

である．以上から，答えは次の2領域の和集合である．

図の着色部が求める範囲であり，破線の境界はすべて含まない．

展開して因数分解すると，

である．2つの2次式の判別式は，順に $1+4a,4a-3$ である．共通解があるなら両式の差から $2x+1=0$，よって $x=-1/2,a=3/4$ である．したがって，異なる実数解の個数は

となる．特に $a=3/4$ では第2因数の重解 $-1/2$ が第1因数の解と一致するので，個数は3ではなく2である．

$a>3/4$ のとき，$f(x)=x$ の2解を $r_{-}<r_{+}$，残りの2解を $u_{-}<u_{+}$ とすると，

である．$h(x)=x^2-x-a$ とおけば，$u_{\pm }^2+u_{\pm }+1-a=0$ より

となる．したがって $r_{-}<u_{+}<r_{+}$ であり，$u_{-}<u_{+}$ と $h(u_{-})>0$ から $u_{-}<r_{-}$ である．求める順序は

となる．

倍角公式から，帰納的に

が成り立つ．$N=2^n$，$F(x)=P_n(x)-x$ とし，

とおく．$x_0>x_1>\cdots >x_N$ であり，

である．$1\le k\le N-1$ では，$k$ が奇数なら負，偶数なら正となる．また，$N$ は偶数なので $F(x_N)=4>0$ である．よって，$k=1,\dots ,N-1$ の各区間 $(x_{k+1},x_k)$ に，中間値の定理によって少なくとも1つの解がある．これらは互いに異なる $N-1$ 個の実数解を与える．さらに $F(x_0)=F(2)=0$ なので，合計 $N$ 個の異なる実数解が得られる．

一方，$F$ は $N$ 次多項式であるから，解は重複度を含めても $N$ 個を超えない．したがって，すべての解が実数で相異なり，その個数は $\boxed{{\displaystyle 2^n}}$ である．

与式を $z^{n-2}(z^2-1)=z-2$ と変形する．$|z|=1$ より $z\bar{z}=1$ なので，実数 $s=z+\bar{z}$ を用いると，

である．両辺の絶対値が等しいことから $4-s^2=5-2s$，すなわち $(s-1{)}^2=0$ を得る．よって $\mathrm{Re}z=1/2$ であり，$|z|=1$ と合わせると，

に限られる．これらは $z^2-z+1=0$ を満たすので，$z^2-1=z-2\ne 0$ である．元の式は $z^{n-2}=1$ と同値になる．両候補の累乗が初めて1に戻る正の指数は6だから，

となる．候補を元の式に戻したので，十分性も確認できている．