問題025｜指数・対数と値の範囲

$t=2^x+2^{-x}$ とおく．$t$ の下限と，$t$ がどこまで大きくなれるかを調べる．

$(2^x-2^{-x}{)}^2=t^2-4$ より，$(1+a)t^2-6t+9-4a$ を $t\ge 2$ で調べる．

3解を $\alpha ,2\alpha ,3\alpha$ とおく．$y=|{\log }_{3}x|$ の概形と直線との交点から，$\alpha <1<2\alpha$ になることを考えよう．

$a\alpha +b=-{\log }_3\alpha$，$2a\alpha +b={\log }_3(2\alpha )$，$3a\alpha +b={\log }_3(3\alpha )$ の差をとって，$a,b$ を消去する．

$a,b$ が1より大きいか小さいかで分ける．$a,b$ が1を挟む場合や $b=1$ の場合は，対数の符号だけで判断できる．

$F(t)=\log (t+1)/\log t$ を考える．$t>1$ では $F(t)=1+\log (1+1/t)/\log t$，$0<t<1$ では $F(t)=-\log (1+t)/\log (1/t)$ と書くと，微分せずに単調性が分かる．

$\alpha ={\log }_{10}2$，$t=\{k\alpha \}$ とおく．ここで $\{u\}=u-\lfloor u\rfloor$ は小数部分である．$c_{k+j}=d$ は ${\log }_{10}d\le \{t+j\alpha \}<{\log }_{10}(d+1)$ と同値になる．

13個の数字が変わる境界は $\{{\log }_{10}d-j\alpha \}$（$d=1,\dots ,9,j=0,\dots ,12$）である．$1,2,4,8,5$ の境界をひとまとめにし，次に $3,6$，$7$，$9$ をまとめて，重複を除いた個数を数えよう．

境界の個数を数えただけでは不十分である．異なる区間が異なる13項の組を与えることと，小数部分 $\{k{\log }_{10}2\}$ がすべての区間に入ることも示す．後者には鳩の巣原理による無理数の倍数の稠密性を使える．

$t=2^x+2^{-x}$ とおくと，相加相乗平均から $t\ge 2$ である．逆に任意の $t\ge 2$ について $u^2-tu+1=0$ は正の解をもつので，$u=2^x$ として実現できる．従って

を調べればよい．$a<-1$ では2次の係数が負，$a=-1$ では $-6t+13$ となるので，いずれも下に有界でなく最小値をもたない．

$a>-1$ なら平方完成でき，軸は $t=3/(1+a)$ である．軸が2以上となる条件は $a\le 1/2$ だから，最小値は

従って最小値をもつ条件は $\boxed{{\displaystyle a>-1}}$ である．$-1<a<1/2$ のとき $T=3/(1+a)>2$ とおけば，最小値をとる $x$ は

$a\ge 1/2$ では $t=2$ の場合だけであり，$\boxed{{\displaystyle x=0}}$ である．境界 $a=1/2$ でも軸は2なので，等号をとる点は1つに限る．

曲線 $y=|{\log }_{3}x|$ は $0<x<1$ では減少し，下に凸であり，$x>1$ では増加し，上に凸である．3つの交点をもつ直線は傾きが正で，交点は $0<x<1$ に1つ，$x>1$ に2つとなる．実際，$a\le 0$ のとき，$x>1$ では曲線と直線の差が増加する．$b\le -a$ なら $x>1$ に交点はなく，左側にも高々2つである．$b>-a$ なら $x=1$ で差が負となるため，左側の凸性から左側に高々1つ，右側にも高々1つである．$a>0$ のときは左側の差が厳密に減少するので左側に高々1つ，右側の差の厳密な凹性から右側に高々2つである．$x=1$ 自身が解なら左側に他の解はなく，右側にも高々1つなので，3解のときは $x=1$ は解ではない．

3解を $\alpha ,2\alpha ,3\alpha$ とおくと，以上から $1/2<\alpha <1$ である．したがって，

後ろの2式の差から $a\alpha ={\log }_3(3/2)$，前の2式の差から $a\alpha =2{\log }_3\alpha +{\log }_{3}2$ を得る．よって ${\alpha }^2=3/4$，すなわち $\alpha =\sqrt{3}/2$ であり，

となる．この $a,b$ を代入すると，$\sqrt{3}/2,\sqrt{3},3\sqrt{3}/2$ が実際に解である．また，上述の単調性と凸性から他の解は存在しない．図はこのときの3交点を示す．

以下，$\log$ の底は10とする．

を考える．$t>1$ では

と書ける．右辺の分数は分子が正で厳密に減少し，分母が正で厳密に増加するので，$F$ は $(1,\mathrm{\infty })$ で厳密に減少する．$0<t<1$ では

であり，分子が正で厳密に増加し，分母が正で厳密に減少するため，$F$ は $(0,1)$ でも厳密に減少する．ただし，1をまたいで単調減少とはいえないことに注意する．

$a>1$ の場合，$0<b\le 1$ なら左辺は0以下，右辺は正なので必ず成立する．$b>1$ の場合は底の変換により，

となるので，単調性から $b<a$ と同値である．合わせて $a>1,0<b<a$ を得る．

$0<a<1$ の場合，$b\ge 1$ なら符号から必ず成立する．$0<b<1$ の場合は，負の数 $\log (a+1)/\log b$ を掛けると不等号が反転して $F(a)>F(b)$ となり，単調性から $a<b$ と同値である．よって答えは

である．境界 $b=a$ では両辺とも1となるので含まない．

別解（底をそろえて正規化する）

$t={\log }_{a}b$ と置けば $b=a^t$ である．$a+1>1$ なので，与式は $t<{\log }_{a+1}(a^t+1)$，すなわち

と同値である．括弧内の2数はともに0と1の間にあり，和が1である．したがって右辺は $t<1$ なら1より大きく，$t=1$ なら1，$t>1$ なら1より小さい．条件は単に ${\log }_{a}b<1$ となり，

を得る．底が1未満の場合の不等号の向きも，最後の1回だけ確認すればよい．

$\alpha ={\log }_{10}2$ とおく．$\alpha$ が有理数 $p/q$（$p,q$ は正の整数）なら $2^q={10}^p$ となり，素因数5の有無が矛盾する．よって $\alpha$ は無理数である．また，$1<2<\sqrt{10}$ より $0<\alpha <1/2$ である．以下，$\{u\}=u-\lfloor u\rfloor$ と書く．

$t=\{k\alpha \}$ に対して，先頭の数字が $d$ となる条件は

である．したがって13個の数字が変化し得る境界は，0と1を同一視した区間上の

である．

まず $B$ の要素数を数える．$d=1,2,4,8$ では ${\log }_{10}d$ はそれぞれ $0,\alpha ,2\alpha ,3\alpha$ であり，${\log }_{10}5=1-\alpha$ だから，$d=1,2,4,8,5$ から生じる境界は

の17個である．$d=3,6$ からは $\{{\log }_{10}3+r\alpha \}$（$r=-12,\dots ,1$）の14個，$d=7$ からは $\{{\log }_{10}7+r\alpha \}$（$r=-12,\dots ,0$）の13個，$d=9$ からは $\{2{\log }_{10}3+r\alpha \}$（$r=-12,\dots ,0$）の13個を得る．各群の内部では $\alpha$ の無理性から重複しない．異なる群の境界が一致すれば，$u,v\in \{1,3,7,9\}$（$u\ne v$）と整数 $r,m$ に対して $u/v=2^r{10}^m$ となるが，素因数3または7の指数を比較すると不可能である．よって，

である．0も $B$ に含まれるので，これらの境界は $[0,1)$ を左端を含み右端を含まない57個の区間に分ける．各区間の内部で13項の組は一定であり，境界上では右側の区間と同じ組となる．

次に，異なる区間が同じ組を与えないことを示す．もし $t_1<t_2$ が同じ組を与えるなら，第1の数字も同じだから，同一の区間 $[{\log }_{10}d,{\log }_{10}(d+1))$ に入り，

となる．各 $j$ について，$t_1+j\alpha$ と $t_2+j\alpha$ の整数部分が異なると，小数部分の距離は $1-(t_2-t_1)>1/2$ となる．これは両者が同じ数字に対応する長さ高々 $\alpha <1/2$ の区間にあることと矛盾する．したがって整数部分は同じであり，その間のすべての $t$ も同じ数字を与える．このことは全 $j$ で成り立つから，途中に組を変える境界は存在しない．よって2点は同一の区分に属し，57区間の組はすべて異なる．

最後に，全区間が実際の $t=\{k\alpha \}$ によって実現することを示す．任意の正の整数 $M$ に対し，$M+1$ 個の数 $\{j\alpha \}$（$j=0,\dots ,M$）を長さ $1/M$ の $M$ 個の区間に入れると，同じ区間に2つ入る．その差から，ある正の整数 $q$ について，$\{q\alpha \}=\delta$ または $1-\delta$，ただし $0<\delta <1/M$，となる．$L=\lfloor 1/\delta \rfloor$ とすれば，点

は，0と1を同一視した区間上で，向きの違いはあっても間隔 $\delta$ ずつ進む点である．隣り合う点の隙間はすべて高々 $\delta$ なので，長さが $\delta$ より大きい任意の開区間に少なくとも1点入る．$M$ をいくらでも大きくできるから，$\{k\alpha \}$（$k\ge 1$）はすべての開区間に現れる．特に57個の区分の内部すべてに現れる．以上より，求める種類数は $\boxed{{\displaystyle 57}}$ である．