問題026｜三角関数の方程式と代数

$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$ を用いる．

$\cos x=0$ と ${\cos }^{2}x=(a+3)/4$ に分け，右辺が0，1の場合を別に調べる．

3つの角を3倍すると，正接の値はいずれも $\sqrt{3}$ になる．

3倍角の公式を整理してから，べき和を順に計算する．

$c=\cos (\pi a)$ とおくと，3次式が1次式と2次式の積になる．

2次式の解を選んだ場合，$\cos (2^n\pi a)=(A_n+B_n\sqrt{17})/4$ の形を保つ．有理角から生じる余弦の値は有限個であることと比べる．

3つの分母を解にもつ3次方程式を作る．

加法定理を繰り返すと $\sin 7t=7\sin t-56{\sin }^{3}t+112{\sin }^{5}t-64{\sin }^{7}t$ を得る．

与式は $\cos x\{4{\cos }^{2}x-(a+3)\}=0$ と同値である．$\cos x=0$ からは常に $x=\pi /2,3\pi /2$ の2解を得る．$0<(a+3)/4<1$，すなわち $-3<a<1$ なら，後者からこれらと異なる4解が加わる．$a=-3$ では解が重なり，$a=1$ では $x=0,\pi$ の2解が加わる．したがって解の個数は

6解の場合，最初の2解は ${\sin }^{2}x=1$，残り4解は ${\sin }^{2}x=1-(a+3)/4$ を満たす．よって求める和は $\boxed{{\displaystyle 3-a}}$ である．

$\tan 3\theta =(3t-t^3)/(1-3t^2)$ において，3つの角はいずれも $\tan 3\theta =\sqrt{3}$ を満たす．分母は0でなく，$u,v,w$ は相異なるので，求める方程式は

である．解と係数の関係より $u+v+w=3\sqrt{3},uv+vw+wu=-3$ だから，$p_j=u^j+v^j+w^j$ とおくと $p_1=3\sqrt{3},p_2=33$ となる．各解について $t^3=3\sqrt{3}{t}^2+3t-\sqrt{3}$ が成り立つので，

倍角・3倍角の公式より，

$c=-1/2$ なら $0<\pi a<\pi$ より $a=2/3$ である．残る可能性は $c=(-1+\sqrt{17})/4$ だけである．もう一方の2次式の解は $-1$ より小さい．

この可能性を仮定する．$A_0=-1,B_0=1$ とし，

と定める．奇数の平方は8を法として1なので，帰納的に $A_n,B_n$ は奇数の整数となる．倍角の公式から $\cos (2^n\pi a)=(A_n+B_n\sqrt{17})/4$ が成り立つ．しかも

$\sqrt{17}$ の無理性により，$A_n$ が異なれば余弦の値も異なる．したがって上の余弦は無限個の値をとる．一方，$a=r/s$ と書けば，$\cos (m\pi a)$ は整数 $m$ を $2s$ で割った余りだけで決まるので有限個の値しかとらない．矛盾するから，$\boxed{{\displaystyle a=2/3}}$ である．

加法定理から得られる7倍角の公式は

したがって $u_k={\sin }^2(k\pi /7)(k=1,2,3)$ は $64u^3-112u^2+56u-7=0$ の解である．$0<\pi /7<2\pi /7<3\pi /7<\pi /2$ よりこれらは相異なり，この3次式の全解である．解と係数の関係から

よって $\sum 1/u_k=(56/64)/(7/64)=\boxed{{\displaystyle 8}}$ となる．