問題 27

問題027｜三角関数の最大・最小と不等式

難易度 C 目安 60分

前半戦

実数 $a$ に対し， $0 \leq θ \leq π / 2$ における

q_{a} (θ) = \cos^{2} θ + 4 \sin^{2} θ - 2 a \sin θ \cos θ

の最大値・最小値を求め，それぞれをとる $θ$ の条件も求めよ．

$0 \leq x < 2 π$ に対し

f (x) = 2 (\sin x + \cos x)^{3} - 3 (\sin x + \cos x)

とする． $f$ の最大値・最小値と，それぞれをとるすべての $x$ を求めよ．さらに，実数 $b$ に対し，方程式 $f (x) = b$ の異なる解の個数を求めよ．

後半戦

整数 $n \geq 2$ と任意の実数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ に対し，

\sum_{1 \leq j < i \leq n} \cos^{2} (x_{i} - x_{j}) \geq \frac{n (n - 2)}{4}

を示せ．さらに等号成立条件を $\sum \cos 2 x_{i}, \sum \sin 2 x_{i}$ を用いて表し，各 $n$ で等号が実現する例を与えよ．

IMO 1983 ロングリスト，第72問を改題（等号に関する問いを追加）．

整数 $n \geq 1$ と実数 $θ$ について，次の問いに答えよ．
(1) $| \sin^{2} θ \sin 2 θ |$ の最大値を求めよ．
(2) 次の式が $θ = π / 3$ で最大値をとることを示し，その値を求めよ．ただし $n = 1$ のとき，中括弧の積は1とする．

| \sin^{2} θ {\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin^{3} (2^{k} θ)} \sin (2^{n} θ) |

(3) $\prod_{k = 0}^{n} \sin^{2} (2^{k} θ) \leq (3 / 4)^{n}$ を示せ．

Putnam 1973，B6（表記を整理）．

ヒント設問 1

ヒント 0

$u = 2 θ$ として合成する．ただし $u$ は円周全体ではなく $[0, π]$ を動く．

ヒント 1

$q_{a} = (5 - 3 \cos u - 2 a \sin u) / 2$ ．合成した振幅が実際に区間内で実現するかを， $a$ の符号で分ける．

ヒント設問 2

ヒント 0

$t = \sin x + \cos x$ として3次式を調べてもよいが，3倍角の公式を使うと1つの三角関数にまとまる．

ヒント 1

$ϕ = x + π / 4$ とおくと， $f (x) = - \sqrt{2} \sin 3 ϕ$ である．

ヒント設問 3

ヒント 0

倍角の公式で，余弦の2乗を余弦そのものに直す．

ヒント 1

$(\sum \cos 2 x_{i})^{2} + (\sum \sin 2 x_{i})^{2}$ を展開する．

ヒント設問 4

ヒント 0

(1)は $u = \sin^{2} θ$ とおき，式を2乗する．

ヒント 1

(2)の式は $\prod_{k = 0}^{n - 1} | \sin^{2} (2^{k} θ) \sin (2^{k + 1} θ) |$ である．割り算をせずに(1)を各因子へ使う．

解答設問 1

$u = 2 θ \in [0, π]$ ， $r = \sqrt{9 + 4 a^{2}}$ とすると，

q_{a} (θ) = \frac{5 - (3 \cos u + 2 a \sin u)}{2} .

$a > 0$ の場合， $3 \cos u + 2 a \sin u$ の最大値 $r$ は $\cos u = 3 / r, \sin u = 2 a / r$ で実現する．一方 $\sin u \geq 0$ より $3 \cos u + 2 a \sin u \geq - 3$ であり，最小値 $- 3$ は $u = π$ でだけ実現する．従って

min q_{a} = (5 - r) / 2, max q_{a} = 4 (a > 0) .

最小値の点は上の2条件で定まる唯一の $θ$ ，最大値の点は $θ = π / 2$ である．

$a < 0$ の場合は $3 \cos u + 2 a \sin u \leq 3$ であり，最大値3は $u = 0$ でだけ実現する．最小値 $- r$ は $\cos u = - 3 / r, \sin u = - 2 a / r$ で実現する．従って

min q_{a} = 1, max q_{a} = (5 + r) / 2 (a < 0) .

最小値の点は $θ = 0$ ，最大値の点は上の2条件で定まる唯一の $θ$ である． $a = 0$ では $q_{0} = 1 + 3 \sin^{2} θ$ より，最小値1を $θ = 0$ ，最大値4を $θ = π / 2$ でとる．

解答設問 2

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + π / 4)$ と3倍角の公式を使うと，

f (x) = \sqrt{2} {4 \sin^{3} (x + π / 4) - 3 \sin (x + π / 4)} = - \sqrt{2} \sin (3 x + 3 π / 4) .

従って最大値は $\sqrt{2}$ であり， $\sin (3 x + 3 π / 4) = - 1$ を解くと

x = π / 4, 11 π / 12, 19 π / 12

で実現する．最小値は $- \sqrt{2}$ であり， $\sin (3 x + 3 π / 4) = 1$ より

x = 7 π / 12, 5 π / 4, 23 π / 12

で実現する．

角 $3 x + 3 π / 4$ は長さ $6 π$ の半開区間を動く．正弦は1周期の半開区間内で， $- 1 < c < 1$ の値をちょうど2回， $c = \pm 1$ をちょうど1回とる．その3周期分を数えて，

{\begin{array}{ll} 6 & (| b | < \sqrt{2}), \\ 3 & (| b | = \sqrt{2}), \\ 0 & (| b | > \sqrt{2}) . \end{array}

解答設問 3

$C = \sum_{i = 1}^{n} \cos 2 x_{i}, S = \sum_{i = 1}^{n} \sin 2 x_{i}$ とおく．加法定理と倍角の公式より，

C^{2} + S^{2} = n + 2 \sum_{j < i} \cos 2 (x_{i} - x_{j}) = n + 4 \sum_{j < i} \cos^{2} (x_{i} - x_{j}) - n (n - 1) .

したがって左辺の和は ${n (n - 2) + C^{2} + S^{2}} / 4$ に等しい．これで不等式が示され，等号条件は $C = S = 0$ である．

例えば $x_{i} = (i - 1) π / n$ とすればよい．実際， $ϕ = 2 π / n$ とし $\sum_{k = 0}^{n - 1} \cos k ϕ = C, \sum_{k = 0}^{n - 1} \sin k ϕ = S$ とおくと，添字を1つずらすことと加法定理から $C = C \cos ϕ - S \sin ϕ, S = C \sin ϕ + S \cos ϕ$ を得る．この2式より $2 (1 - \cos ϕ) C = 2 (1 - \cos ϕ) S = 0$ であり， $n \geq 2$ なので $C = S = 0$ となる．

解答設問 4

(1) $u = \sin^{2} θ \in [0, 1]$ とすると，式の2乗は $4 u^{3} (1 - u)$ となる．微分すると $4 u^{2} (3 - 4 u)$ なので $u = 3 / 4$ で最大値 $27 / 64$ をとる．よって答えは $3 \sqrt{3} / 8$ である．

(2) 与式を $F_{n} (θ)$ とすると，

F_{n} (θ) = \prod_{k = 0}^{n - 1} | \sin^{2} (2^{k} θ) \sin (2^{k + 1} θ) | \leq (3 \sqrt{3} / 8)^{n} .

$θ = π / 3$ ではすべての $| \sin (2^{k} θ) |$ が $\sqrt{3} / 2$ になるので，全因子で等号が同時に成り立つ．したがって最大値は $(3 \sqrt{3} / 8)^{n}$ である．

(3) $F_{n}^{2 / 3}$ では，両端の正弦の絶対値の指数はそれぞれ $4 / 3, 2 / 3$ ，途中の指数は2である．絶対値は1以下なので，両端の指数を2まで増やしても値は大きくならない．よって

\prod_{k = 0}^{n} \sin^{2} (2^{k} θ) \leq F_{n} (θ)^{2 / 3} \leq (3 / 4)^{n} .

別解（相加相乗平均で微分を省く）

(1) で $u = \sin^{2} θ$ と置くと， $0 \leq u \leq 1$ である．和が1である4つの非負数 $u / 3, u / 3, u / 3, 1 - u$ に相加相乗平均の不等式を用いれば，

{(\frac{u}{3})}^{3} (1 - u) \leq {(\frac{1}{4})}^{4}, | \sin^{2} θ \sin 2 θ |^{2} = 4 u^{3} (1 - u) \leq \frac{27}{64} .

等号は $u / 3 = 1 - u$ ，すなわち $u = 3 / 4$ のときに成り立つので，最大値は $3 \sqrt{3} / 8$ である．「和が一定の因子を，指数の数だけ分ける」と，この種の積の最大値を微分せずに決められる．(2)，(3) は主解と同じ積の評価で従う．

DISCUSSION

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