問題 28

問題028｜円と軌跡・距離の関係

難易度 C 目安 60分

前半戦

単位円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ の外部にある点 $P$ が，円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 上を動く． $P$ から $C$ に引いた接線の接点を $M, N$ ，直線 $O P$ と弦 $M N$ の交点を $Q$ とする．ただし $O$ は原点である．
(1) $Q$ の軌跡を求めよ．
(2) 弦 $M N$ の長さのとり得る範囲を求めよ．

実数 $a$ に対し，放物線 $y = x^{2}$ と円 $x^{2} + (y - a)^{2} = 1$ の異なる共有点の個数を求めよ．

後半戦

頂点が $(0, 0), (1978, 0), (1978, 1978), (0, 1978)$ である正方形の外接円上に，これら4点以外の整数座標の点は存在しないことを示せ．

IMO 1978 ロングリスト，第32問（オランダ提案）．

平面上の相異なる4点 $A, B, C, D$ に対し，

A C \cdot B D \leq A B \cdot C D + B C \cdot A D

を証明せよ．さらに， $A, B, C, D$ がこの順に凸四角形をなす場合，等号成立の必要十分条件が4点の共円性であることを示せ．

ヒント設問 1

ヒント 0

$P = (u, v)$ とすれば，接触弦は $u x + v y = 1$ である．

ヒント 1

$Q = P / (u^{2} + v^{2})$ ．逆変換も同じ式であり， $u = X / (X^{2} + Y^{2}), v = Y / (X^{2} + Y^{2})$ となる．

ヒント設問 2

ヒント 0

$u = x^{2} \geq 0$ とおく． $u = 0$ は1点， $u > 0$ は2点に対応する．

ヒント 1

$u^{2} + (1 - 2 a) u + a^{2} - 1 = 0$ の非負の解を調べる．判別式だけでは不十分である．

ヒント設問 3

ヒント 0

円の中心を原点へ移して，2つの整数の平方和の式にする．

ヒント 1

$1978 = 2 \cdot 23 \cdot 43$ である． $p \equiv 3 (\mod 4)$ の素数が $u^{2} + v^{2}$ を割ると， $u, v$ を両方割ることを使う．

ヒント設問 4

ヒント 0

$D$ を原点とし， $X = (x, y) \neq D$ に $X^{'} = (x, y) / (x^{2} + y^{2})$ を対応させる．

ヒント 1

$X^{'} Y^{'} = X Y / (D X \cdot D Y)$ を示し，三角不等式 $A^{'} C^{'} \leq A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'}$ を使う．

解答設問 1

$P = (u, v)$ とすると，円上の接点 $(m, n)$ では接線が $m x + n y = 1$ だから $u m + v n = 1$ となる．従って接触弦は $u x + v y = 1$ ，その $O P$ との交点は

Q = (X, Y) = (\frac{u}{u^{2} + v^{2}}, \frac{v}{u^{2} + v^{2}})

である． $X^{2} + Y^{2} > 0$ であり，逆に $u = X / (X^{2} + Y^{2}), v = Y / (X^{2} + Y^{2})$ と書ける．これを $u^{2} + v^{2} - 4 u + 3 = 0$ に代入すると

3 (X^{2} + Y^{2}) - 4 X + 1 = 0.

動く円は単位円の外側にあり，接する点 $(1, 0)$ だけが除かれる．逆変換も確認すると，求める軌跡は

(X - 2 / 3)^{2} + Y^{2} = 1 / 9 から (1, 0) を除いたもの

である．

(2) $r = O P$ とすると $1 < r \leq 3$ のすべての値をとり，原点から弦への距離は $1 / r$ である．半径1の円の弦の長さは $M N = 2 \sqrt{1 - 1 / r^{2}}$ だから，

0 < M N \leq \frac{4 \sqrt{2}}{3} .

上端は $P = (3, 0)$ のときに実現し，下端は実現しない．

解答設問 2

$y = x^{2} = u$ とおくと，

h (u) = u^{2} + (1 - 2 a) u + a^{2} - 1 = 0, u \geq 0

となる．判別式は $5 - 4 a$ ，2解の和は $2 a - 1$ ，積は $a^{2} - 1$ である．

$a < - 1$ では実数解があっても両方負なので共有点はない． $a = - 1$ では $u = 0, - 3$ より1点である． $- 1 < a < 1$ では積が負なので正の解がちょうど1個あり，共有点は2点である． $a = 1$ では $u = 0, 1$ より3点である． $1 < a < 5 / 4$ では相異なる正の解が2個あり，4点である． $a = 5 / 4$ では正の重解 $u = 3 / 4$ より2点， $a > 5 / 4$ では実数解がない．まとめると，

\begin{array}{cccccccc} a & (- \infty, - 1) & - 1 & (- 1, 1) & 1 & (1, 5 / 4) & 5 / 4 & (5 / 4, \infty) \\ 個数 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 0 \end{array}

解答設問 3

円の中心は $(989, 989)$ なので，整数点 $(x, y)$ に対し $u = x - 989, v = y - 989$ とおくと

u^{2} + v^{2} = 2 \cdot 989^{2} = 2 \cdot 23^{2} \cdot 43^{2}

となる．ここで， $p \equiv 3 (\mod 4)$ の素数について $p ∣ u^{2} + v^{2}$ なら $p ∣ u, p ∣ v$ である．実際， $p ∤ v$ と仮定すると $z \equiv u v^{- 1} (\mod p)$ に対して $z^{2} \equiv - 1 (\mod p)$ となり，

z^{p - 1} \equiv (- 1)^{(p - 1) / 2} = - 1 (\mod p)

がフェルマーの小定理に矛盾する．したがって $p ∣ v$ ，さらに $p ∣ u$ となる．

これを $p = 23, 43$ に適用すると $989 ∣ u, v$ である． $u = 989 U, v = 989 V$ とおけば $U^{2} + V^{2} = 2$ だから $U, V$ はそれぞれ $\pm 1$ である．ゆえに $x, y$ はそれぞれ0または1978であり，求める4頂点しか存在しない．

解答設問 4

$D = (0, 0)$ とする．点 $X = (x, y) \neq D$ に対し $X^{'} = (x, y) / (x^{2} + y^{2})$ とおく．2点について距離の平方を展開すれば

X^{'} Y^{' 2} = \frac{X Y^{2}}{D X^{2} D Y^{2}}, X^{'} Y^{'} = \frac{X Y}{D X D Y}

が得られる．したがって三角不等式 $A^{'} C^{'} \leq A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'}$ に $D A \cdot D B \cdot D C$ を掛ければ，求める不等式が得られる．等号は $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ が同一直線上にあり， $B^{'}$ が線分 $A^{'} C^{'}$ 上にある場合に限る．

凸四角形の場合を考える．原点を通らない直線 $u x^{'} + v y^{'} = w (w \neq 0)$ の逆像は

x^{2} + y^{2} - \frac{u}{w} x - \frac{v}{w} y = 0

という原点を通る円である．原点を通る直線の逆像は同じ直線なので，凸四角形の場合には起こらない．よって等号なら4点は共円である．

逆に4点がこの順に円周上にあるとする． $D$ を除く円周は変換によって1本の直線に連続かつ1対1に移り，円弧 $A B C$ は原点を含まないため，その像は線分 $A^{'} C^{'}$ である．従って $B^{'}$ はその間にあり，等号が成り立つ．必要十分条件は $A, B, C, D が同一円周上にあること$ である．

DISCUSSION

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