問題 29

問題029｜領域と最大・最小

難易度 D 目安 60分

前半戦

2つの円板の共通部分

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1, (x - 1)^{2} + y^{2} \leq 1}

を図示せよ．また，実数 $a$ に対し，点 $(x, y)$ が $D$ を動くときの $a x + y$ の最大値・最小値を求めよ．

実数 $a$ が $0 < a < 1$ を動くとき，2点 $(a, 0), (0, 1 - a)$ を結ぶ線分の通過する領域を求め，境界を含むかどうかも明示せよ．

後半戦

実数 $A, B, C, D, E, F, G$ が $B^{2} - 4 A C < 0$ を満たすとする．曲線

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x^{3} + E x^{2} y + F x y^{2} + G y^{3} = 0

は，ある $δ > 0$ に対して $0 < x^{2} + y^{2} < δ^{2}$ の領域に点をもたないことを示せ．

Putnam 1970，A2．

平行四辺形 $A B C D$ において $A B = a, A D = 1, ∠ D A B = α$ とし，三角形 $A B D$ の3内角はすべて鋭角であるとする．各頂点を中心とする半径1の4つの閉円板が平行四辺形全体を覆うための必要十分条件は

a \leq \cos α + \sqrt{3} \sin α

であることを示せ．

IMO 1967，第1問．

ヒント設問 1

ヒント 0

2円の交点は $(1 / 2, \pm \sqrt{3} / 2)$ である．各円板全体での最大点が，共通部分に含まれるかを調べる．

ヒント 1

最大値が交点で実現する中間の場合は，2本の接線による評価を非負係数で足すと証明できる．

ヒント設問 2

ヒント 0

$x, y > 0$ の点が線分上にある条件を $a$ の方程式として考える．

ヒント 1

$\frac{x}{a} + \frac{y}{1 - a}$ の最小値は $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}$ ．座標軸上は別に調べる．

ヒント設問 3

ヒント 0

$x = r \cos θ, y = r \sin θ$ とおき，2次の部分を $r^{2}$ ，3次の部分を $r^{3}$ で評価する．

ヒント 1

2次の部分の絶対値は，単位円上で正の下限をもつ．三角関数の合成からその下限を具体的に出せる．

ヒント設問 4

ヒント 0

三角形 $A B D$ の外心と外接円の半径 $R$ に注目する．

ヒント 1

三角形のどの点も少なくとも1頂点からの距離が $R$ 以下である．逆に外心は，4頂点のどれからも $R$ 未満の距離にはないことを示す．

解答設問 1

2円の共有点は $U = (1 / 2, \sqrt{3} / 2), L = (1 / 2, - \sqrt{3} / 2)$ であり，領域 $D$ は2円弧に挟まれた閉領域である． $r = \sqrt{a^{2} + 1}$ とおく．

原点中心の円板では $a x + y \leq r$ であり，等号点 $(a / r, 1 / r)$ がもう一方の円板にも入る条件は $2 - 2 a / r \leq 1$ ，すなわち $a \geq 1 / \sqrt{3}$ である．中心 $(1, 0)$ の円板では $a x + y \leq a + r$ であり，等号点 $(1 + a / r, 1 / r)$ が単位円板に入る条件は $2 + 2 a / r \leq 1$ ，すなわち $a \leq - 1 / \sqrt{3}$ である．

$- 1 / \sqrt{3} \leq a \leq 1 / \sqrt{3}$ のとき， $D$ 上では2円の $U$ における接線から

\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3} y}{2} \leq 1, - \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3} y}{2} \leq \frac{1}{2}

が成り立つ．それぞれに非負の数 $a + 1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3} - a$ を掛けて足すと $a x + y \leq (a + \sqrt{3}) / 2$ を得る． $U$ で等号となるので，

M (a) = max_{D} (a x + y) = {\begin{array}{ll} a + \sqrt{a^{2} + 1} & (a \leq - 1 / \sqrt{3}), \\ (a + \sqrt{3}) / 2 & (- 1 / \sqrt{3} \leq a \leq 1 / \sqrt{3}), \\ \sqrt{a^{2} + 1} & (a \geq 1 / \sqrt{3}) . \end{array}

領域は $(x, y) \mapsto (1 - x, - y)$ で自分自身に移り，目的の式は $a - (a x + y)$ に移る．従って最小値は

m (a) = a - M (a) .

半径1，中心(0,0)と(1,0)の2円板の共通部分を着色．交点は(1/2,±√3/2)．

解答設問 2

$x, y > 0$ の点について，通過条件は

\frac{x}{a} + \frac{y}{1 - a} = 1

を満たす $0 < a < 1$ が存在することである．

\frac{x}{a} + \frac{y}{1 - a} - (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2} = \frac{{\sqrt{x} (1 - a) - \sqrt{y} a}^{2}}{a (1 - a)} \geq 0

より最小値は $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}$ ，等号は $a = \sqrt{x} / (\sqrt{x} + \sqrt{y})$ で成り立つ．左辺は $a \to 0 +, 1 -$ でともに無限大となり，途中で連続なので，1という値をとる必要十分条件は $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1$ である．

座標軸上で線分に含まれる点は $0 < x < 1, y = 0$ ，または $x = 0, 0 < y < 1$ である．従って求める領域は

{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0, \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1} ∖ {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}

である．曲線境界は両端を除いて含み，両軸上の開線分も含む．

第1象限で√x+√y≤1を満たす領域．曲線と軸上の境界を含むが原点，(1,0)，(0,1)を白丸で除く．

解答設問 3

仮定より $A C > 0$ である．

A \cos^{2} θ + B \cos θ \sin θ + C \sin^{2} θ = \frac{A + C}{2} + \frac{A - C}{2} \cos 2 θ + \frac{B}{2} \sin 2 θ

であり， $(A + C)^{2} - {(A - C)^{2} + B^{2}} = 4 A C - B^{2} > 0$ だから，その絶対値は

m = \frac{| A + C | - \sqrt{(A - C)^{2} + B^{2}}}{2} > 0

以上である．一方，3次の部分の絶対値は $K r^{3}$ ，ただし $K = | D | + | E | + | F | + | G |$ ，以下である．

$K = 0$ なら2次の部分は原点以外で0にならないので，任意の $δ > 0$ でよい． $K > 0$ なら $δ = m / K$ とおく． $0 < r < δ$ では2次の部分の絶対値が $m r^{2} > K r^{3}$ となるため，3次の部分と打ち消し合うことはない．従ってその領域に曲線上の点は存在しない．

解答設問 4

三角形 $A B D$ の外心を $O$ ，外接円の半径を $R$ とする．まず三角形内の任意の点 $P$ は，3頂点のいずれかから距離 $R$ 以下にある．実際， $P$ の座標を $λ A + μ B + ν D$ （ $λ, μ, ν \geq 0, λ + μ + ν = 1$ ）と表すと，座標を展開して

λ P A^{2} + μ P B^{2} + ν P D^{2} = R^{2} - P O^{2} \leq R^{2}

を得るので，3距離の少なくとも1つは $R$ 以下である．従って $R \leq 1$ なら三角形 $A B D$ は3円板で覆われ，合同な三角形 $B C D$ も同様に覆われる．

逆に，鋭角三角形なので $O$ は三角形の内部にある． $A = (0, 0), B = (a, 0), D = (c, s)$ ，ただし $c = \cos α > 0, s = \sin α > 0$ ，とおく． $O = (u, v)$ は $2 a u = a^{2}, 2 (c u + s v) = 1$ を満たす． $C = (a + c, s)$ だから

O C^{2} - O A^{2} = (a + c)^{2} + s^{2} - 2 {(a + c) u + s v} = 2 a c > 0.

よって $R > 1$ なら $O$ は4つの円板のどれにも含まれず，覆うことはできない．従って必要十分条件は $R \leq 1$ である．

正弦定理と余弦定理より $R = \sqrt{a^{2} + 1 - 2 a c} / (2 s)$ ．また $∠ A B D$ が鋭角なので $a > c$ である．従って

R \leq 1 ⟺ (a - c)^{2} \leq 3 s^{2} ⟺ a \leq \cos α + \sqrt{3} \sin α

となる．

DISCUSSION

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