問題030｜微分・解の配置と最良の評価

導関数 $f_a^{\prime }(x)=4(x^3-x)+a$ の実数解を調べる．

$a>0$ の場合は $f_a(x)-f_a(-x)=2ax$ に注目する．負の半直線での最小値と，正の極小点を反転した点の値を比較する．

端点と $x=\sqrt{a}$ が区間に入る場合を調べる．

$0<a<1$ では $|1-3a|$ と $2a^{3/2}$ を比較する．$2a^{3/2}-3a+1$ は $\sqrt{a}$ の式として因数分解できる．

$P^{\prime }(0)$ を $P(0),P(1/2),P(1)$ の1次結合で表す．

$P^{\prime }(0)=4P(1/2)-3P(0)-P(1)$ である．等号のために必要な3点の値から候補を作る．

まず $P(x)=x^3-3x/4$ を調べる．その極値をとる点と両端の4点を使う．

どの $P$ にも $P(1)-P(-1)-2P(1/2)+2P(-1/2)=3/2$ が成り立つ．

(1) $g(x)=x^3-x$ とおくと $g^{\prime }(x)=3x^2-1$ より，$x=-1/\sqrt{3}$ で極大値 $2/(3\sqrt{3})$，$x=1/\sqrt{3}$ で極小値 $-2/(3\sqrt{3})$ をとる．従って $g(x)=-a/4$ が相異なる3実数解をもつ条件は

この場合，$f_a^{\prime }$ の符号は左から負，正，負，正と変わるので，2つの極小と1つの極大をもつ．境界の場合の重解では符号が変わらず，極値は3つにならない．

(2) $a=0$ では $f_0$ は偶関数であり，$x=\pm 1$ の極小値はいずれも $-1$ である．$a>0$ で(1)の条件を満たす場合，$g(x)=-a/4<0$ の3解は，1つが負，2つが正となる．左の極小点を $r<0$，右の極小点を $s>0$ とする．負の半直線では $r$ が唯一の極小点であり，そこで最小値をとる．従って

となり，極小値は等しくない．$a<0$ は $f_a(-x)=f_{-a}(x)$ により左右が逆になるだけで，やはり等しくない．従って答えは $\boxed{{\displaystyle a=0}}$ のみである．

別解（等しい極小値を二重根にする）

(2) の2つの極小点を $r<s$，共通の極小値を $m$ とする．$f_a(r)-m=f_a^{\prime }(r)=0$ なので $r$ は $f_a(x)-m$ の少なくとも二重の根であり，$s$ も同様である．最高次係数が1の4次式だから，

左辺の $x^3$ の係数は0なので $-2(r+s)=0$，よって $s=-r$ である．右辺は $(x^2-r^2{)}^2$ という偶関数になるため，$x$ の係数を比較すれば $a=0$ と直ちに分かる．逆に $a=0$ は(1)の範囲内で，$x=\pm 1$ に共通の極小値 $-1$ をもつ．したがって $\boxed{{\displaystyle a=0}}$ のみである．

$g(x)=x^3-3ax$ とおく．$a\le 0$ なら $g$ は区間で増加し，$M(a)=1-3a$ である．$a\ge 1$ なら $g\le 0,g^{\prime }\le 0$ なので $M(a)=3a-1$ となる．

$0<a<1$ では $x=\sqrt{a}$ で $g$ は最小値 $-2a^{3/2}$ をとるため，$M(a)=max\{|1-3a|,2a^{3/2}\}$ である．$1-3a=2a^{3/2}$ の区間内の解は $a=1/4$ だけである．実際，左辺は減少，右辺は増加し，$a=1/4$ で一致する．また $v=\sqrt{a}$ とおくと

以上より，

これは $a=1/4$ まで減少し，その後増加する．従って最小値は $\boxed{{\displaystyle 1/4}}$，そのとき $\boxed{{\displaystyle a=1/4}}$ である．

別解（二点の値で最小の最大値を決める）

$M(a)$ 自体の場合分けをせず，その最小値だけを先に求める方法である．$g_a(x)=x^3-3ax$ とすると，係数 $a$ が消える組合せ

が成り立つ．したがって $3/4\le |g_a(1)|+2|g_a(1/2)|\le 3M(a)$ より $M(a)\ge 1/4$ である．$a=1/4$ では $x=\cos \theta$（$0\le \theta \le \pi /2$）と置くと，3倍角の公式から $g_{1/4}(x)=\cos 3\theta /4$ となる．よって区間全体で絶対値は $1/4$ 以下であり，$x=1$ で $1/4$ となるので下限を実現する．また $M(a)=1/4$ なら上の評価で等号となり，$g_a(1)=1/4$ が必要だから $1-3a=1/4$，すなわち $a=1/4$ に限る．従って $\boxed{{\displaystyle minM(a)=1/4,a=1/4}}$ である．

$P(x)=a{x}^2+bx+c$ を代入すると，

よって $|P^{\prime }(0)|\le 4+3+1=8$ である．他方，$P(x)=8x^2-8x+1=8(x-1/2{)}^2-1$ とおけば，$0\le x\le 1$ で $-1\le P(x)\le 1$ かつ $P^{\prime }(0)=-8$ となる．従って求める最大値は $\boxed{{\displaystyle 8}}$ である．

係数を代入して整理すると，

各値の絶対値は $N(P)$ 以下なので，$3/2\le 6N(P)$，すなわち $N(P)\ge 1/4$ である．$P_0(x)=x^3-3x/4$ は導関数が $3(x^2-1/4)$ であり，両端と極値の4点で順に

をとる．増減を調べると区間全体で $|P_0|\le 1/4$ だから，下限は実現する．

また $N(P)=1/4$ なら，上の評価の等号条件により4点での値はすべて $P_0$ と一致する．$P-P_0$ は高々2次なのに相異なる4つの零点をもつので恒等的に0である．ゆえに最小値は $\boxed{{\displaystyle 1/4}}$，実現する多項式は $\boxed{{\displaystyle P(x)=x^3-3x/4}}$ のみである．