問題031｜積分・接線と面積

弦と放物線の縦方向の差は $(x-p)(q-x)$ である．

三角形 $PQR$ の面積は $(q-p)(r-p)(q-r)/2$ と表せる．

2つの接点の $x$ 座標を $u,v$ とすると，曲線と直線の差は $(x-u{)}^2(x-v{)}^2$ になる．

3次と2次の係数を比較すれば $u+v=0,u^2=a$ が得られる．

最適な2次式の符号が変わる2点を考える．対称な候補から始める．

$|x|\le 1/2$ で $-1$，その外側で1をとる関数 $s(x)$ を用いれば，$|f(x)|\ge s(x)f(x)$ である．

恒等的な等式を確かめるには $f=1,x,x^2,\dots$ を代入すればよい．

(2)では奇数次が対称性で消える．$1,x^2,x^4$ だけで未知数が決まる．

弦 $PQ$ は $y=(p+q)x-pq$ であり，$x=r$ における放物線との縦方向の差は $(r-p)(q-r)$ である．弦の長さは $(q-p)\sqrt{1+(p+q{)}^2}$，この縦方向の差を垂直距離へ直すには $\sqrt{1+(p+q{)}^2}$ で割ればよい．従って

最大値は $\boxed{{\displaystyle (q-p{)}^3/8}}$，そのとき $\boxed{{\displaystyle r=(p+q)/2}}$ である．

一方，

また2接線は $y=2px-p^2,y=2qx-q^2$ なので，$T=((p+q)/2,pq)$ である．$T$ と弦との縦方向の差は $(q-p{)}^2/2$ だから $[PQT]=(q-p{)}^3/4$ となる．従って求める比は

図は $p=-1,q=1$ で面積が最大となる場合である．

(1) 求める直線を $y=mx+b$，接点の $x$ 座標を $u\ne v$ とする．接点では差とその導関数が0になるので，最高次係数も考えると

3次の係数から $u+v=0$ となり，右辺は $(x^2-u^2{)}^2$ である．2次の係数より $u^2=a$，残りの係数より $m=0,b=-a^2$ を得る．逆に $y=-a^2$ は $x=\pm \sqrt{a}$ で接するから，答えは $\boxed{{\displaystyle y=-a^2}}$ のみである．

(2) 曲線はこの直線の上にあるので，

原点における接線は $y=0$ であり，他の交点は $x=\pm \sqrt{2a}$ である．この間では曲線は $x$ 軸以下なので，

図は $a=1$ の場合で，着色部の面積が $S$ にあたる．

$s(x)$ を $|x|<1/2$ で $-1$，$1/2<|x|\le 1$ で1と定める．境界の値は積分に影響しない．偶奇性と区間の長さから ${\int }_{-1}^{1}s(x)dx={\int }_{-1}^{1}xs(x)dx=0$ であり，

従って $|x^2+ax+b|\ge s(x)(x^2+ax+b)$ を積分すると $I(a,b)\ge 1/2$ である．$a=0,b=-1/4$ のときは符号が $s$ と一致し，等号を実現する．

等号の場合，各開区間で連続な非負の差 $|f|-sf$ の積分が0なので，その差は各区間で恒等的に0となる．したがって $f=x^2+ax+b$ は内側で非正，外側で非負であり，連続性から $f(-1/2)=f(1/2)=0$ でなければならない．最高次係数が1なので $f=x^2-1/4$ である．よって最小値は $\boxed{{\displaystyle 1/2}}$，実現する組は $\boxed{{\displaystyle (a,b)=(0,-1/4)}}$ のみである．

(1) $f=x,x^2$ を代入すると $u+v=0,u^2+v^2=2/3$ となるので，

この値は $f=1,x,x^2,x^3$ のすべてで等式を満たすため，それらの1次結合である任意の高々3次の多項式でも成り立つ．

(2) 奇数次の単項式は両辺とも0である．$f=1,x^2,x^4$ より，

第2式は0でないので割り算ができ，$r^2=3/5$ を得る．従って

この値で0次から5次までのすべての単項式について等式が成立するので十分でもあり，他の組は存在しない．