問題032｜積分と多項式・条件からの決定

積分区間が対称なので，奇関数の項は消える．

$x^3-3x/5$ と残りの2次以下の多項式に分けると，積の積分が0になる．

積分を $A=\int f(t)dt,B=\int tf(t)dt$ の2つの定数に分ける．

$f(x)=x^2+\lambda Ax+\lambda B$．この式を積分して $A,B$ の連立方程式を作り，係数が0になる場合も調べる．

区間内で $P$ の符号が変わる零点だけを取り出す．

それらを $r_1,\dots ,r_m$ とし，$Q(x)=\prod (x-r_i)$ とおくと，$PQ$ は区間内で符号を変えない．$m<n$ と仮定する．

$h=x-1$ とおき，各積分を $h$ の多項式として，2次の項まで書く．

積をとったときの $h^2,h^3$ の係数がそれぞれ0になることを示せばよい．

$P_0(x)=x^3-3x/5,Q(x)=a{x}^2+(b+3/5)x+c$ とおく．偶奇性および ${\int }_{-1}^1(x^4-3x^2/5)dx=0$ より，${\int }_{-1}^1{P}_{0}Qdx=0$ である．従って

連続な非負関数 $Q^2$ の積分が0となるのは，$Q$ が区間で恒等的に0の場合に限る．多項式なのでこれは $Q\equiv 0$ と同値である．よって最小値は $\boxed{{\displaystyle 8/175}}$，実現する組は $\boxed{{\displaystyle (a,b,c)=(0,-3/5,0)}}$ のみである．なお，展開して平方完成しても

を得る．

$A={\int }_{-1}^{1}f(t)dt,B={\int }_{-1}^{1}tf(t)dt$ とおくと，

従って $(1-4{\lambda }^2/3)A=2/3$ である．$\lambda =\pm \sqrt{3}/2$ のときは矛盾し，解は存在しない．それ以外では

と一意に決まるので，

が唯一の候補である．この式を積分すると実際に上の $A,B$ が得られ，元の等式を満たすので十分でもある．

区間 $(0,1)$ 内の零点のうち，$P$ の符号が変わる点を $r_1,\dots ,r_m$ とする．これらは奇数の重複度をもつ零点である．$m<n$ と仮定し，

とおく．$m=0$ のときは $Q=1$ とする．$Q$ の次数は $n-1$ 以下だから，仮定の等式の1次結合により ${\int }_0^{1}P(x)Q(x)dx=0$ となる．

一方，$P$ の符号が変わる点では $Q$ も符号を変え，その他の零点ではどちらも符号を変えない．従って $PQ$ は $(0,1)$ で一定の符号をもち，しかも恒等的には0でない．ある小区間では厳密に同じ符号をもつので，積分値は0にならない．これは矛盾である．従って $m\ge n$．$P$ は $n$ 次なので $m=n$ であり，区間内に相異なる $n$ 個の解をもつ．次数も使い切るため，それらはすべて単純解である．

多項式 $u$ に対して，ある多項式 $R_u(h)$ を用いて

と正確に表せる．これを $u=ac,bd,ad,bc$ に使う．各積分は $h$ を因数にもつので，$F(1+h)$ の定数項と1次の項は0である．$h^2$ の係数は，以下すべて $t=1$ で評価するとして，

となる．$h^3$ の係数は

である．従って $F(1+h)$ の3次以下の係数はすべて0となり，$h^4$ で割り切れる．すなわち $F(x)$ は $\boxed{{\displaystyle (x-1{)}^4}}$ で割り切れる．