問題033｜極限と漸化式

$e^x-1$ を積分で表し，引き算を積分の中で行う．

${\displaystyle e^x-1-x=x^2{\int }_0^1(1-t)e^{tx}dt}$ を示すとよい．

まず $a_2$ 以降が $\sqrt{6}$ より大きいことを示す．

${\displaystyle a_{n+1}-\sqrt{6}=\frac{(a_n-\sqrt{6}{)}^2}{2a_n}}$ と変形する．

最初に $x_n\to 0$ を示す．その次に $1/x_n$ の増え方を見る．

${\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}=\frac{1}{1-x_n}}$．この式を足して $n$ で割る．

まず $t$ を定数として積分する．次に全体の対数を取る．

積分を $I(t)$ とすると $I(0)=1$ である．$\log I(t)/t$ は $t=0$ での微分係数になる．

部分積分により，正負いずれの $x\ne 0$ についても

である．$x\to 0$ のとき右辺の積分は $1/2$ に近づく．元の商が有限の極限をもつなら，それに $x$ を掛けたものは0に近づくので，必ず $a=1/2$ である．さらに積分をもう一度用いると，

$0\le t\le 1$ において $e^{-|x|}\le e^{tx}\le e^{|x|}$ だから，積分は ${\int }_0^1(1-t{)}^{2}dt=1/3$ に近づく．したがって $\boxed{{\displaystyle a=1/2}}$，極限値は $\boxed{{\displaystyle 1/6}}$ である．

$a_n>0$ であり，

である．ここで等号が起きないのは，すべての $a_n$ が有理数で $\sqrt{6}$ は無理数だからである．$n\ge 2$ では

となる．したがって $a_n$ は $n\ge 2$ で単調減少かつ下に有界で，極限 $L\ge \sqrt{6}$ をもつ．漸化式の極限から $L=(L+6/L)/2$，よって $\boxed{{\displaystyle L=\sqrt{6}}}$ である．最初の恒等式を用いれば，後の極限は $lim1/(2a_n)=\boxed{{\displaystyle 1/(2\sqrt{6})}}$ となる．

帰納的に $0<x_{n+1}<x_n<1$ である．極限を $L\ge 0$ とすれば $L=L(1-L)$ なので $L=0$ となる．一方，

右辺の和の各項は1に近づく．その平均も1に近づくことを確認するため，任意の $\epsilon >0$ に対し，十分大きい $k$ で $1\le 1/(1-x_k)<1+\epsilon$ とする．最初の有限個の項を $n$ で割った寄与は0に近づき，残りの平均は1と $1+\epsilon$ の間にある．したがって $1/(n{x}_n)\to 1$，よって $\boxed{{\displaystyle n{x}_n\to 1}}$ である．

$t$ が0に十分近いとき，

$I(0)=1$ であるから，

指数関数の連続性により，求める値は

である．この形では四則演算と累乗以外の演算を使っていない．