問題 41

問題041｜面積と弧長

難易度 D 目安 60分

前半戦

$0 \leq t \leq 2 π$ に対し $x = 2 \cos^{3} t, y = \sin^{3} t$ で表される閉曲線を $C$ とする． $C$ で囲まれる面積と $C$ の長さを求めよ．

実数 $c$ に対し $S (c) = \int_{0}^{1} | e^{x} - c | d x$ とする． $S (c)$ を最小にする $c$ と，その最小値を求めよ．

後半戦

線分 $I = {(x, 1) ∣ 1 \leq x \leq 3}$ 上の各点 $P$ に対し，線分 $O P$ 上で $P P^{*} = 1 / 100$ となる点 $P^{*}$ を取る．ただし $O$ は原点である． $P$ が $I$ を動くときの $P^{*}$ の軌跡を $C$ とする． $I$ と $C$ のどちらの長さが大きいか．証明を付して答えよ．

Putnam 1947 第9問

$g$ は $[0, \infty)$ で連続， $x > 0$ では $g (x) > 0$ とする．すべての $x > 0$ に対して，領域

R_{x} = {(s, t) ∣ 0 \leq s \leq x, 0 \leq t \leq g (s)}

の重心の $y$ 座標が，区間 $[0, x]$ における $g$ の平均値に等しいという．このような $g$ をすべて求めよ．なお，重心の $y$ 座標は
$\frac{\int_{0}^{x} g (t)^{2} d t}{2 \int_{0}^{x} g (t) d t}$
で与えられる．

Putnam 1984 B4

ヒント設問 1

ヒント 1

座標軸に関する対称性から第1象限だけを考える．この部分では $x$ は減少する．

ヒント 2

面積は $- 4 \int_{0}^{π / 2} y (t) x^{'} (t) d t$ ．弧長の被積分関数は $3 \sin t \cos t \sqrt{1 + 3 \cos^{2} t}$ になる．

ヒント設問 2

ヒント 1

$c \leq 1, 1 < c < e, c \geq e$ に分ける．

ヒント 2

$1 < c < e$ では交点の $x$ 座標は $\log c$ である．そこで積分を分けると $S^{'} (c) = 2 \log c - 1$ になる．

ヒント設問 3

ヒント 1

$P = (t, 1)$ として $P^{*}$ の座標を表す．両端間の距離だけでは曲線の長さは決まらない．

ヒント 2

$r = \sqrt{t^{2} + 1}, h = 1 / 100$ と置くと $P^{*} = (t - h t / r, 1 - h / r)$ である．速度の2乗を1と比較する．

ヒント設問 4

ヒント 1

$H (x) = \int_{0}^{x} g (t) d t$ と置き，条件を微分する．

ヒント 2

$r (x) = x H^{'} (x) / H (x)$ が $r^{2} - 4 r + 2 = 0$ を満たす． $r$ は連続なので，2つの根を途中で切り替えることはできない．

解答設問 1

第1象限では $t$ が0から $π / 2$ に増えるにつれて $x$ は2から0へ減少する．座標軸に関する対称性より，面積は

A = - 4 \int_{0}^{π / 2} \sin^{3} t (- 6 \cos^{2} t \sin t) d t = 24 \int_{0}^{π / 2} \sin^{4} t \cos^{2} t d t .

部分積分による $\int_{0}^{π / 2} \sin^{n} t d t = (n - 1) \int_{0}^{π / 2} \sin^{n - 2} t d t / n$ を使うと，
$\int \sin^{4} t \cos^{2} t d t = 3 π / 16 - 5 π / 32 = π / 32$ である．ここで積分区間はいずれも $[0, π / 2]$ である．したがって $A = 3 π / 4$ となる．弧長については

\sqrt{(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}} = 3 \sin t \cos t \sqrt{1 + 3 \cos^{2} t}

だから，

L = 4 \int_{0}^{π / 2} 3 \sin t \cos t \sqrt{1 + 3 \cos^{2} t} d t = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u = \frac{28}{3} .

解答設問 2

$c \leq 1$ では $S (c) = e - 1 - c$ で狭義単調減少， $c \geq e$ では $S (c) = c - e + 1$ で狭義単調増加する． $1 < c < e$ では $e^{x} - c$ の符号が $x = \log c$ で変わるから，

S (c) = \int_{0}^{\log c} (c - e^{x}) d x + \int_{\log c}^{1} (e^{x} - c) d x = 2 c \log c - 3 c + e + 1 .

よって $S^{'} (c) = 2 \log c - 1$ は $c = \sqrt{e}$ の前で負，後で正となる．以上を合わせると，ただ1つの最小点は $c = \sqrt{e}$ ，最小値は

S (\sqrt{e}) = e + 1 - 2 \sqrt{e} = (\sqrt{e} - 1)^{2}

である．

別解（半分ずつ組にして中央値を使う）

区間の前半と後半を組にして，三角不等式を使うと

\begin{aligned} S (c) & = \int_{0}^{1 / 2} (| e^{x} - c | + | e^{x + 1 / 2} - c |) d x \\ \geq \int_{0}^{1 / 2} (e^{x + 1 / 2} - e^{x}) d x = (\sqrt{e} - 1)^{2} . \end{aligned}

各組で等号が成り立つ条件は $e^{x} \leq c \leq e^{x + 1 / 2}$ である． $c = \sqrt{e}$ なら全区間でこの条件が成り立つ．逆に積分で等号なら，連続な非負の差の積分が0なので各 $x \in [0, 1 / 2]$ で等号となる． $x = 0, 1 / 2$ を見れば $c \leq \sqrt{e}$ かつ $c \geq \sqrt{e}$ だから， $c = \sqrt{e}$ に限る．よって最小値は $(\sqrt{e} - 1)^{2}$ ，最小にする値は $\sqrt{e}$ である．絶対値の和や積分を最小にする際は，値を半分ずつに分ける「中央値」が有力な候補になる．

解答設問 3

$h = 1 / 100, r = \sqrt{t^{2} + 1}$ とすると，

P^{*} (t) = (t - \frac{h t}{r}, 1 - \frac{h}{r}) (1 \leq t \leq 3) .

微分すると

\frac{d P^{*}}{d t} = (1 - \frac{h}{r^{3}}, \frac{h t}{r^{3}}), {| \frac{d P^{*}}{d t} |}^{2} = 1 - \frac{2 h}{r^{3}} + \frac{h^{2}}{r^{4}} = 1 + \frac{h}{r^{4}} (h - 2 r) < 1.

ここで $r \geq \sqrt{2} > h / 2$ を用いた．第1座標の導関数は正だから，曲線は重ねてたどられていない．よって

length (C) = \int_{1}^{3} | \frac{d P^{*}}{d t} | d t < \int_{1}^{3} 1 d t = 2 = length (I) .

したがって $I の方が長い$ ．

解答設問 4

条件は $\frac{1}{2} \int_{0}^{x} g (t)^{2} d t = H (x)^{2} / x$ である． $H > 0, H^{'} = g$ なので両辺を微分すると，

\frac{1}{2} (H^{'})^{2} = \frac{2 x H H^{'} - H^{2}}{x^{2}} .

したがって $r = x H^{'} / H$ は $r^{2} - 4 r + 2 = 0$ を満たす． $r$ は $(0, \infty)$ で連続であるため，中間値の定理から $r$ は一定で， $2 + \sqrt{2}$ または $2 - \sqrt{2}$ である． $H^{'} / H = r / x$ を積分して $H = C_{0} x^{r}$ （ $C_{0} > 0$ ），よって $g = C_{0} r x^{r - 1}$ を得る． $r = 2 - \sqrt{2}$ では $x \to 0 +$ で $g \to \infty$ となり，0での連続性に反する．したがって候補は

g (x) = C x^{1 + \sqrt{2}} (C > 0)

のみである．逆に $p = 1 + \sqrt{2}$ とすると，この関数の平均値は $C x^{p} / (p + 1)$ ，重心の $y$ 座標は $C (p + 1) x^{p} / {2 (2 p + 1)}$ である． $(p + 1)^{2} = 2 (2 p + 1)$ より両者は等しく，すべての候補が条件を満たす．

DISCUSSION

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