問題 43

問題043｜放物線の接線と法線

難易度 C 目安 60分

前半戦

放物線 $y^{2} = 8 x$ に点 $T (a, b)$ から相異なる2本の接線を引き，接点を $P, Q$ とする． $∠ P T Q = 60^{\circ}$ となる点 $T$ の軌跡を求めよ．

放物線 $y^{2} = 4 x$ の焦点を $F$ とする． $F$ を通る直線と放物線の交点を $P, Q$ とするとき，線分 $P Q$ の中点の軌跡と， $P Q$ の長さの最小値を求めよ．ただし交点が2個存在する直線のみを考える．

後半戦

$p > 0$ とする．点 $(a, b)$ を通る放物線 $y^{2} = 4 p x$ の相異なる実法線の本数を， $a, b, p$ の条件によって分類せよ．

Putnam 1940 N11

$m > 0$ とし，放物線 $P_{0} : y^{2} = m x$ を考える．放物線 $P_{k}$ 上の2点 $A, B$ における接線が直交するとき， $A, B$ と $P_{k}$ の頂点の重心の軌跡を $P_{k + 1}$ とする． $P_{n}$ の方程式を求めよ．

Putnam 1946 PM2

ヒント設問 1

ヒント 1

接点を $(2 t^{2}, 4 t)$ と表し，接線の方程式を求める．

ヒント 2

2接点のパラメータの和と積を $a, b$ で表す．接線のなす鋭角だけでなく，半直線 $T P, T Q$ の向きを確認する．

ヒント設問 2

ヒント 1

$P = (u^{2}, 2 u), Q = (v^{2}, 2 v)$ とおき，弦の方程式を書く．

ヒント 2

焦点を通る条件は $u v = - 1$ となる． $u + v$ を一つの変数として使う．

ヒント設問 3

ヒント 1

接点を $(p t^{2}, 2 p t)$ と表し，法線が $(a, b)$ を通る条件を $t$ の3次方程式にする．

ヒント 2

$p t^{3} + (2 p - a) t - b$ の極大値・極小値の符号を比べる．重根がある場合を分ける．

ヒント設問 4

ヒント 1

まず頂点が原点の場合を計算し，軌跡が本当に放物線全体となることを確認する．

ヒント 2

放物線の係数は $1 / 3$ 倍され，頂点は元の係数の $1 / 6$ だけ右へ移る．

解答設問 1

接線は $x - t y + 2 t^{2} = 0$ なので，接点のパラメータ $u, v$ は $2 t^{2} - b t + a = 0$ の2根である．したがって $u + v = b / 2, u v = a / 2, (u - v)^{2} = b^{2} / 4 - 2 a > 0$ である．また $T = (2 u v, 2 (u + v))$ より， $\vec{T P} = 2 (u - v) (u, 1)$ ， $\vec{T Q} = 2 (v - u) (v, 1)$ である．ゆえに

\cos ∠ P T Q = - \frac{1 + u v}{\sqrt{(1 + u^{2}) (1 + v^{2})}} .

これが $1 / 2$ になるには $u v < - 1$ ，すなわち $a < - 2$ が必要である．両辺を平方すると $4 (1 + u v)^{2} = (1 + u v)^{2} + (u - v)^{2}$ だから

b^{2} - 8 a = 3 (a + 2)^{2}, b^{2} = 3 a^{2} + 20 a + 12.

逆にこの等式と $a < - 2$ が成り立てば判別式は正で，元の余弦も $1 / 2$ になる．右辺の因数分解 $(3 a + 2) (a + 6)$ より，軌跡は $b^{2} = 3 a^{2} + 20 a + 12, a \leq - 6$ である．

解答設問 2

弦の方程式は $2 x - (u + v) y + 2 u v = 0$ である． $F = (1, 0)$ を代入すると $u v = - 1$ を得る．中点を $(X, Y)$ とすれば $Y = u + v$ ， $X = (u^{2} + v^{2}) / 2 = (Y^{2} + 2) / 2$ となる．任意の実数 $Y$ に対して $t^{2} - Y t - 1 = 0$ は異なる2実根をもつので，軌跡は $Y^{2} = 2 (X - 1)$ の全体である．また

P Q = | u - v | \sqrt{(u + v)^{2} + 4} = Y^{2} + 4.

したがって最小値は $4$ で，焦点を通り軸に垂直な弦のときに達する．

解答設問 3

接点 $(p t^{2}, 2 p t)$ での法線は $y = - t x + 2 p t + p t^{3}$ で， $t = 0$ も含む．よって $f (t) = p t^{3} + (2 p - a) t - b = 0$ の異なる実根の個数を調べればよい．異なる $t$ は傾きが異なる法線を与える． $a \leq 2 p$ なら $f$ は狭義単調増加なので1本である． $a > 2 p$ なら $s = \sqrt{(a - 2 p) / (3 p)}$ とおくと，極大値・極小値は $f (- s) = 2 p s^{3} - b, f (s) = - 2 p s^{3} - b$ である．したがって

D = 4 (2 p - a)^{3} + 27 p b^{2}

とおくと， $D < 0$ なら3本， $D > 0$ なら1本である． $D = 0$ で $(a, b) \neq (2 p, 0)$ なら2重根と単根があり2本， $(a, b) = (2 p, 0)$ なら3重根 $t = 0$ だけなので1本である．

解答設問 4

$A = (m s^{2}, m s), B = (m t^{2}, m t)$ とする．接線の方向ベクトルは $(2 s, 1), (2 t, 1)$ なので直交条件は $s t = - 1 / 4$ である．重心 $(X, Y)$ は $X = m (s^{2} + t^{2}) / 3, Y = m (s + t) / 3$ を満たし，

Y^{2} = \frac{m}{3} (X - \frac{m}{6})

となる．逆に任意の $Y$ に対して $s + t = 3 Y / m, s t = - 1 / 4$ は実数解をもつので，軌跡はこの放物線全体である．平行移動しても同じ計算ができるから，係数は $m / 3^{n}$ ，頂点の横座標は

\sum_{j = 0}^{n - 1} \frac{m}{6 \cdot 3^{j}} = \frac{m}{4} (1 - 3^{- n})

となる．よって $P_{n} : y^{2} = \frac{m}{3^{n}} (x - \frac{m}{4} (1 - 3^{- n}))$ である．

DISCUSSION

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