問題044｜楕円とアフィン変換

$x=3u,y=2v$ によって単位円へ移すと，面積は何倍になるか．

単位円に内接する三角形の面積は $2\sin A\sin B\sin C$ である．

$OP=r,OQ=s$，$OP$ の偏角を $\theta$ とする．

$1/(r^2{s}^2)$ を ${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$ で表す．

焦点距離の和が $2a$ であることを使って積を求める．

接線の式から $d^2$ を求め，楕円の方程式で分母を整理する．

原点を $M$ とし，$AB,CD$ を座標軸とする斜交座標を使う．

楕円の式と，直線 $AC,BD$ の式の積との差が $uv$ の定数倍になることを示す．

変換 $x=3u,y=2v$ は面積を6倍する．単位円上の三角形の角を $A,B,C$ とすると，正弦定理より面積は $2\sin A\sin B\sin C$ である．$A+B=\pi -C$ より $\sin A\sin B\le (1+\cos C)/2$ である．$t=\cos C$ とおけば面積の平方は $(1-t)(1+t{)}^3$ 以下であり，その最大値は $t=1/2$ のとき $27/16$ である（導関数は $2(1+t{)}^2(1-2t)$）．等号は $A=B=C=\pi /3$ に限る．したがって最大値は $\boxed{{\displaystyle 9\sqrt{3}/2}}$ である．等号を満たす頂点は，任意の実数 $\theta$ に対して $(3\cos (\theta +2k\pi /3),2\sin (\theta +2k\pi /3))(k=0,1,2)$ と表される．

$c=\cos \theta ,d=\sin \theta$ とおくと $r^{-2}=c^2/16+d^2/9,s^{-2}=d^2/16+c^2/9$ である．よって

面積は $2rs$ で，$0\le c^2{d}^2\le 1/4$ より最大値は $\boxed{{\displaystyle 24}}$，最小値は $\boxed{{\displaystyle 576/25}}$ である．最大となるのは2直径が座標軸上にあるとき，最小となるのは2直径が $y=\pm x$ 上にあるときである．

$P=(x,y),c^2=a^2-b^2,r_j=P{F}_j$ とする．$r_1+r_2=2a$ と $r_1^2+r_2^2=2(x^2+y^2+c^2)$ より，$r_1{r}_2=a^2+b^2-x^2-y^2$ である．接線は $xX/a^2+yY/b^2=1$ だから $d^2=a^4{b}^4/(b^4{x}^2+a^4{y}^2)$ となる．楕円の方程式より分母は $a^2{b}^2(a^2+b^2-x^2-y^2)=a^2{b}^2{r}_1{r}_2$ と書ける．したがって一定値は $\boxed{{\displaystyle a^2{b}^2}}$ である．

原点を $M$ とし，$AB,CD$ を軸とする斜交座標 $(u,v)$ を使う．楕円の式を $E=0$，直線 $AC,BD$ の式を $L_1=0,L_2=0$ とする．$u$ 軸上で $E$ と $L_1{L}_2$ は同じ2点 $A,B$ を零点とするので，ある非零定数 $\lambda$ により $E(u,0)=\lambda L_1(u,0)L_2(u,0)$ となる．原点での値は非零なので，$v$ 軸上でも同じ定数 $\lambda$ で一致する．したがって2次以下の多項式 $E-\lambda L_1{L}_2$ は両軸上で恒等的に0となり，$kuv$ と書ける．直線 $UV$ を $(u,v)=(\alpha t,\beta t)$ と表す．$U,V$ のパラメータは符号が逆なので $E(\alpha t,\beta t)$ に $t$ の1次項はない．$kuv=k\alpha \beta t^2$ にも1次項はないため，$L_1{L}_2$ をこの直線上に制限した2次式にも1次項はない．その2根は $P,Q$ のパラメータであり，和は0となる．よって $M$ は $PQ$ の中点である．