問題045｜双曲線と直交条件

$P=(t,4/t)$ とおき，直角三角形の外心が斜辺の中点であることを使う．

外心は $P$ 自身になる．点 $K$ が円内にある条件と半径の2乗を，どちらも $t+4/t$ で表す．

中点を $(X,Y)$ とすると両端は $(X\pm t,Y\pm mt)$ と書ける．2つの双曲線の式の差と和をとる．

中点の直線条件だけでは足りない．$t^2>0$ を満たす範囲を，$4-9m^2$ の符号で分ける．

傾き $m$ の接線 $y=mx+c$ では $c^2=a^2{m}^2-b^2$ となる．漸近線の場合に注意する．

接線の傾きの積を使い，最後に実際に接点があるか確認する．

各点を $(t,1/t)$ と表す．2点を結ぶ直線の傾きは簡単な積で表される．

$A$ からの高さと $B$ からの高さを連立する．

$t>0$ とすると，接線は $4x/t+ty=8$ であり，$A=(2t,0),B=(0,8/t)$ となる．面積は $\boxed{{\displaystyle 8}}$ で一定である．外心は斜辺 $AB$ の中点 $P=(t,4/t)$ であり，半径 $R$ は $R^2=t^2+16/t^2$ を満たす．点 $K$ が円の周または内部にある条件は

すなわち $t+4/t\ge 5$ である．そこで $R^2=(t+4/t{)}^2-8\ge 17$ を得る．等号は $t+4/t=5$，すなわち $t=1,4$ のときに成立する．したがって最小値は $\boxed{{\displaystyle \sqrt{17}}}$，そのときの点は $\boxed{{\displaystyle P=(1,4),(4,1)}}$ である．

両端を $(X\pm t,Y\pm mt)$（$t>0$）と書き，双曲線の式を引くと $4X-9mY=0$ を得る．和をとると

となる．中点の条件 $X=9mY/4$ を代入すれば

$|m|<2/3$ の場合，任意の実数 $Y$ に対して正の $t^2$ が得られるので，軌跡は直線 $\boxed{{\displaystyle 4X-9mY=0}}$ 全体である．$|m|=2/3$ の場合，左辺が0となるため弦は存在しない．$|m|>2/3$ の場合は，$t^2>0$ の必要十分条件が $(9m^2-4)Y^2>16$ となる．したがって軌跡は $\boxed{{\displaystyle 4X-9mY=0,(9m^2-4)Y^2>16}}$ である．各場合に得た正の $t$ から両端が復元できるので，これらの条件は十分でもある．

$T=(h,k)$ とする．非鉛直接線の傾きは $(h^2-a^2)m^2-2hkm+k^2+b^2=0$ を満たす．$h^2\ne a^2$ のとき直交条件は根の積が $-1$ となることであり，$h^2+k^2=a^2-b^2$ を得る．鉛直接線があるなら $h=\pm a$ だが，双曲線には水平接線がないので直交する組はない．上の円上では $|h|<a$ であり，傾きの2根は実数で積が $-1$ となる．ただし $T$ が漸近線 $k=\pm (b/a)h$ 上にある場合，一方の直線が漸近線となり接点が存在しない．それ以外では交点の2次方程式が2次のまま重根をもち，真の接線となる．したがって軌跡は $\boxed{{\displaystyle h^2+k^2=a^2-b^2}}$ から2本の漸近線との4交点を除いたものである．

$A=(a,1/a),B=(b,1/b),C=(c,1/c)$ とする．パラメータは非零で互いに異なる．$BC$ の傾きは $-1/(bc)$ なので $A$ からの高さは $y-1/a=bc(x-a)$ である．同様に $B$ からの高さは $y-1/b=ac(x-b)$ となる．差をとると $c(b-a)x=(a-b)/(ab)$，よって $x=-1/(abc)$ である．代入して $y=-abc$ を得る．したがって $\boxed{{\displaystyle H=(-1/(abc),-abc)}}$ で $xy=1$ を満たす．$H$ のパラメータを $h$ とすると $\boxed{{\displaystyle abch=-1}}$ である．