問題046｜媒介変数と曲線の表し方

点 $(1,0)$ と目的の点を結ぶ直線を使う．

$x\ne 1$ のとき $r=y/(1-x)$ とおく．

$x=r\cos \theta ,r=\sqrt{x^2+y^2}$ を使う．

$2r-x=6$ を平方し，得られた楕円上で $x+6>0$ を確認する．

長さ1の線分の端点を $(\cos t,0),(0,\sin t)$ と表す．$P$ が乗る条件は $x/\cos t+y/\sin t=1$ である．

左辺の最小値と増減を調べる．長さが $L$ の場合は右辺が $L$ になる．

小円の中心は $3(\cos \theta ,\sin \theta )$ である．点 $P$ の中心からの回転角に注意する．

小円の接触方向からの回転は $-4\theta$ なので，固定座標での回転角は $-3\theta$ になる．

$x=1$ なら $(x,y)=(1,0)$ である．それ以外では $r=y/(1-x)\in \mathbb{Q}$ とおくと，$y^2=(1-x)(1+x)$ より $r^2(1-x)=1+x$ となる．よって

を得る．逆にこれらはすべて有理数座標の円周上の点である．整数解から得られる点も有理数座標をもつので，例外 $(1,0)$ またはこの形となる．具体的に $a\ne c$ なら $r=b/(c-a)$ とすればよい．

$2\sqrt{x^2+y^2}=x+6$ より $3x^2+4y^2-12x=36$，したがって $\boxed{{\displaystyle (x-2{)}^2/16+y^2/12=1}}$ となる．この楕円上で $-2\le x\le 6$ だから $x+6>0$ であり，平方前の式と同値である．中心は $(2,0)$，焦点は $\boxed{{\displaystyle (0,0),(4,0)}}$，離心率は $\boxed{{\displaystyle 1/2}}$ である．

$P$ が長さ1の線分上にある条件は，ある $0<t<\pi /2$ に対して $g(t)=x/\cos t+y/\sin t=1$ となることである．両端で $g(t)\to \mathrm{\infty }$ となり，$g^{\prime }(t)=0$ は ${\tan }^{3}t=y/x$ と同値である．その唯一の点の前では減少，後では増加し，最小値は

となる．したがって求める本数は $\boxed{{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}<1\text{ なら2本，}=1\text{ なら1本，}>1\text{ なら0本}}}$ である．長さ $L$ の場合，端点を $(L\cos t,0),(0,L\sin t)$ とすれば $P$ が乗る条件は $g(t)=L$ となる．よって長さの最小値は $\boxed{{\displaystyle (x^{2/3}+y^{2/3}{)}^{3/2}}}$ であり，$\tan t=(y/x{)}^{1/3}$ の線分で実現する．下図の曲線上で1本，その第1象限側の内部で2本になる．

小円の中心を $C$ とすると $C=(3\cos \theta ,3\sin \theta )$ である．固定円の接触点までの弧長は $4\theta$ で，滑らない条件より小円上の対応する弧長も $4\theta$ となる．内側を転がるため $\overrightarrow{CP}$ の偏角は $\theta -4\theta =-3\theta$ である．よって

軌跡は $\boxed{{\displaystyle |x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}=4^{2/3}}}$ である．逆にこの式を満たす点から，実数の立方根を用いて $\cos \theta =\sqrt[3]{x/4},\sin \theta =\sqrt[3]{y/4}$ と定められるので，曲線全体が得られる．