問題 47

問題047｜逆関数と分数関数の反復

難易度 C 目安 60分

前半戦

$x_{0} = 0, x_{n + 1} = (3 x_{n} + 2) / (x_{n} + 2)$ と定める． $x_{n}$ の一般項を求めよ．さらに，初期値を実数 $x_{0} = c$ に変えたとき，途中で分母が0となる $c$ をすべて求めよ．

$f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 4}$ とする． $f$ が実数全体から正の実数全体への1対1の対応を与えることを示し，逆関数を求めよ．さらに，実数 $k, λ$ に対して方程式 $f (x) + f (k - x) = λ$ の実数解の個数を求めよ．

後半戦

実数 $t$ に対し $f_{t} (x) = t - 1 / x$ とする．合成が定義されるすべての実数 $x$ について $f_{t} (f_{t} (f_{t} (x))) = x$ が成り立つような $t$ をすべて求めよ．そのとき，実数の不動点が存在するかも答えよ．

$f (x) = (2 x + 1) / (x + 2)$ とする．実数係数の分数関数 $g (x) = (a x + b) / (c x + d) (a d - b c \neq 0)$ のうち，両辺が定義されるすべての $x$ で $f (g (x)) = g (f (x))$ を満たすものをすべて求めよ．

ヒント設問 1

ヒント 1

写像の不動点 $2, - 1$ を利用する．

ヒント 2

$(x_{n + 1} - 2) / (x_{n + 1} + 1)$ と $(x_{n} - 2) / (x_{n} + 1)$ の関係を求める．

ヒント設問 2

ヒント 1

$y = f (x)$ とおいて平方根を移項し， $x$ を $y$ で表す．逆にすべての $y > 0$ が使えるかも確認する．

ヒント 2

$u = f (x), v = f (k - x)$ とおく．逆関数の式から $u + v = λ$ と $u v$ の条件を導き，正の2数の和と積を考える．

ヒント設問 3

ヒント 1

3回の合成を一つの分数式にまとめる．

ヒント 2

恒等式なので，分母を払った多項式の各係数が一致する．

ヒント設問 4

ヒント 1

$f$ の不動点を $0, \infty$ に移す変換で，共通の座標を取り直す．

ヒント 2

$u = (x - 1) / (x + 1)$ では $f$ は $u \mapsto u / 3$ になる．この変換と可換な分数関数を調べる．

解答設問 1

$x_{n} \neq - 1$ なら $q_{n} = (x_{n} - 2) / (x_{n} + 1)$ とおくと $q_{n + 1} = q_{n} / 4$ である． $x_{0} = 0$ では $q_{n} = - 2 / 4^{n}$ だから $x_{n} = 2 (4^{n} - 1) / (4^{n} + 2)$ となる．一般の $c \neq - 1$ では $q_{n} = 4^{- n} (c - 2) / (c + 1)$ で，次の項の分母が0となるのは $x_{n} = - 2$ ，すなわち $q_{n} = 4$ のときである．したがって

\frac{c - 2}{c + 1} = 4^{n + 1}, c = - \frac{4^{n + 1} + 2}{4^{n + 1} - 1} (n = 0, 1, 2, \dots) .

これらではそれ以前に分母0は起こらない． $c = - 1$ は定数列となり例外を生じない．

解答設問 2

$f (x) > 0$ である． $y = x + \sqrt{x^{2} + 4}$ を変形すると $x = y / 2 - 2 / y$ を得る．逆に任意の $y > 0$ に対しこの $x$ をとれば $\sqrt{x^{2} + 4} = y / 2 + 2 / y$ となり， $f (x) = y$ である．よって逆関数は $f^{- 1} (y) = y / 2 - 2 / y (y > 0)$ である．

$u = f (x), v = f (k - x)$ とおくと， $u, v > 0, u + v = λ$ であり，逆関数の式から

k = \frac{λ}{2} - 2 (\frac{1}{u} + \frac{1}{v}) = \frac{λ}{2} - \frac{2 λ}{u v}

となる．したがって必要条件は $λ > 0, λ - 2 k > 0, u v = 4 λ / (λ - 2 k)$ である．この和と積をもつ正の2数が存在する条件は

λ^{2} - \frac{16 λ}{λ - 2 k} \geq 0,

すなわち $λ (λ - 2 k) \geq 16$ である．正の $λ$ についてこれは $λ \geq k + \sqrt{k^{2} + 16}$ と同値であり，この条件から $λ - 2 k > 0$ も従う．正の根 $u, v$ が得られれば逆関数によって $x = f^{- 1} (u)$ を復元でき，もう一方が $k - x$ となるので十分である．2根が異なるときはその交換から異なる2解を得る．したがって解の個数は

{\begin{array}{ll} 0 & (λ < k + \sqrt{k^{2} + 16}), \\ 1 & (λ = k + \sqrt{k^{2} + 16}), \\ 2 & (λ > k + \sqrt{k^{2} + 16}) \end{array}

である．1解の場合は $u = v$ より $x = k / 2$ となる．

別解（凸性と対称性で解を数える）

逆関数は上の解答のとおり $f^{- 1} (y) = y / 2 - 2 / y (y > 0)$ である．後半の解の個数は， $H (x) = f (x) + f (k - x)$ の形から直接分かる．

f^{″} (x) = \frac{4}{(x^{2} + 4)^{3 / 2}} > 0

なので $f^{'}$ は狭義増加であり， $H^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (k - x)$ は $x < k / 2$ で負， $x > k / 2$ で正となる．したがって $H$ は $x = k / 2$ でただ一つの最小値

H (k / 2) = 2 f (k / 2) = k + \sqrt{k^{2} + 16}

をとる．また $x \to \infty$ では $f (x) \to \infty$ ， $x \to - \infty$ では $f (k - x) \to \infty$ で，他方の項も正なので両端で $H (x) \to \infty$ となる．連続性と左右での狭義単調性により，解の個数は $λ$ がこの最小値より小さいとき0個，等しいとき1個，大きいとき2個である．

解答設問 3

直接計算すると

f_{t}^{2} (x) = \frac{(t^{2} - 1) x - t}{t x - 1}, f_{t}^{3} (x) = \frac{(t^{3} - 2 t) x + 1 - t^{2}}{(t^{2} - 1) x - t} .

除外される $x$ は有限個なので，恒等式なら分母を払った多項式も恒等的に0である． $x^{2}$ の係数比較から $t^{2} = 1$ が必要となり， $t = \pm 1$ は実際に残りの係数も一致させる．よって $t = \pm 1$ である．不動点は $x^{2} - t x + 1 = 0$ の実根だが，判別式は $t^{2} - 4 = - 3$ なので存在しない．

解答設問 4

分数式の恒等式として考え， $\infty$ では分母0をその値とする拡張を使う． $h (x) = (x - 1) / (x + 1)$ とおくと $h \circ f \circ h^{- 1} (u) = u / 3$ である． $G = h \circ g \circ h^{- 1}$ も非定数の分数関数で， $G (u / 3) = G (u) / 3$ を満たす．写像 $u \mapsto u / 3$ の不動点は $0, \infty$ だけなので， $G$ はこの2点を保つか交換する．保つ場合は $G (u) = λ u (λ \neq 0)$ ，交換する場合は $G (u) = λ / u$ だが，後者は可換条件を満たさない．元に戻して

g (x) = \frac{(1 + λ) x + (1 - λ)}{(1 - λ) x + (1 + λ)} .

したがって答えは $g (x) = (A x + B) / (B x + A), A^{2} \neq B^{2}$ であり，直接代入しても可換性を確認できる．

DISCUSSION

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