問題048｜1の冪根と多項式

最初の和は $k$ と $n-k$ を組にする．

$F(x)=1+x+\cdots +x^{n-1}$ の $F^{\prime }/F$ とその導関数を $x=1$ で計算する．

$x^n-1$ を因数分解し，$x=1$ の因子だけを除いて代入する．

$|1-e^{2\pi ik/n}|=2\sin (k\pi /n)$ を使う．

$z^9(11z+10i)=11-10iz$ とまとめる．

両辺の絶対値の平方を比較し，$|z|>1$ と $|z|<1$ をそれぞれ矛盾に導く．

複素数係数では平方和が2因子に分かれる．

$P+iQ$ には，$X^{2n}+1$ の各共役根の組からちょうど一方を選ぶ．

$F(x)=\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k)$ とおく．$F(1)=n,F^{\prime }(1)=n(n-1)/2,F^{″}(1)=n(n-1)(n-2)/3$ だから

$\overline{{\zeta }^k}={\zeta }^{-k}$ より $1/|1-{\zeta }^k{|}^2=-{\zeta }^k/(1-{\zeta }^k{)}^2=1/(1-{\zeta }^k)-1/(1-{\zeta }^k{)}^2$ である．したがって第2の和は $S-T=\boxed{{\displaystyle (n^2-1)/12}}$，第1の和は $\boxed{{\displaystyle (n-1)/2}}$ である．

別解（逆数どうしを組にする）

最初の和は微分を使わずに求められる．$q\ne 0,1$ なら

である．$S=\sum _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k{)}^{-1}$ とおくと，添字の変換 $k\mapsto n-k$ により

したがって $S=(n-1)/2$ である．$n$ が偶数のときの $k=n/2$ も同じ式で処理でき，個別の場合分けはいらない．

$(x^n-1)/(x-1)=\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k)$ に $x=1$ を代入すると $\prod (1-{\zeta }^k)=n$ となる．絶対値をとれば $2^{n-1}\prod \sin (k\pi /n)=n$ である．よって $\boxed{{\displaystyle \prod \sin (k\pi /n)=n/2^{n-1}}}$ となる．半径 $R$ の場合は各距離が $R|1-{\zeta }^k|$ だから，距離の積は $\boxed{{\displaystyle n{R}^{n-1}}}$ である．

$11z+10i=0$ なら $z=-10i/11$ だが $11-10iz=21/11\ne 0$ なので解ではない．したがって解では

となる．$z=x+iy,r^2=x^2+y^2$ とすると分子は $121+220y+100r^2$，分母は $121r^2+220y+100$ であり，分母から分子を引くと $21(r^2-1)$ となる．$r>1$ なら右辺は1未満なのに左辺は1より大きく，$r<1$ なら逆の矛盾が生じる．ゆえにすべての解で $\boxed{{\displaystyle |z|=1}}$ である．

次数条件から $P$ の次数は $n$，最高次係数は $\pm 1$ である．$X^{2n}+1$ は相異なる非実根をもち，$n$ 組の共役対に分かれる．$(P+iQ)(P-iQ)=X^{2n}+1$ で，両因子は係数ごとの共役だから，$P+iQ$ は各共役対からちょうど一方を根としてもつ．同じ対の両方を選ぶと共役因子にも両方が現れ，重根ができてしまう．逆に各対から一方ずつ選び，最高次係数 $\epsilon =\pm 1$ の多項式 $H$ を作れば，$P=(H+\bar{H})/2,Q=(H-\bar{H})/(2i)$ は条件を満たす．最高次係数が実数なので $\mathrm{deg}Q<n=\mathrm{deg}P$ である．この対応は一対一だから，個数は $\boxed{{\displaystyle 2^{n+1}}}$ となる．