問題 49

問題049｜回転と対称移動の合成

難易度 D 目安 60分

前半戦

複素数平面上の変換 $T (z) = i \overset{―}{z} + 2 - i$ を考える． $T^{n} (z)$ を求めよ．また， $T$ を一つの直線に関する対称移動と，その直線に平行な平行移動の合成として表せ．

反時計回りの順に並ぶ凸四角形 $A B C D$ の各辺の外側に正方形を作り，辺 $A B, B C, C D, D A$ 上の正方形の中心をそれぞれ $U, V, W, T$ とする． $U W = V T$ かつ $U W ⟂ V T$ を示せ．

$n \geq 2, θ = 2 π / n$ とする．平面上の点を， $(1, 0), (2, 0), \dots, (n, 0)$ のまわりに，この順にそれぞれ反時計回りに角 $θ$ だけ回転する．最終的に点 $(x, y)$ はどこに移るか．

Putnam 2004 B4

三角形 $A B C$ の各辺の外側に正三角形を作る．これら3個の正三角形の重心を結ぶと，正三角形になることを示せ．

DISCUSSION

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