問題050｜円と直線を共役で表す

複素数 $z$ が $|z-1|=2|z+2|$ を満たして動くとする．$z$ の軌跡を求めよ．さらに，$(z-i)/(z+i)$ の実部の最大値と最小値を求めよ．

単位円上の相異なる2点 $a,b$ が $a+b\ne 0$ を満たすとする．それらの点における接線の交点の複素数を $a,b$ で表せ．さらに，単位円に接する3本の直線が作る三角形のうち，単位円板を内部および境界に含むものの面積の最小値と，等号が成り立つ図形を求めよ．

三角形 $ABC$ の外接円上の点 $P$ から，3辺を含む直線に下ろした垂線の足を $X,Y,Z$ とする．$X,Y,Z$ が一直線上にあることを示せ．

単位円上の相異なる3点を $a,b,c$ とする．複素数平面上の点 $p$ から直線 $ab,ac,bc$ に下ろした垂線の足が一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし同じ位置の垂足は重複して数えてよい．