問題 51

問題051｜複素数の写像と領域

難易度 D 目安 60分

前半戦

$r > 1$ を固定し， $| z | = r$ のとき $w = z + 1 / z$ の軌跡を求めよ．また，この円周上で同じ $w$ を与える異なる $z$ が存在するか調べよ．

$z$ が閉円板 $| z - 1 | \leq 1$ を動くとき， $w = z^{2}$ の動く領域を極座標で表せ．その境界の直交座標による媒介変数表示も求めよ．

実数 $b, c$ に対して，方程式 $z^{2} + b z + c = 0$ の2根がともに $| z | < 1$ を満たすための必要十分条件を求め， $b c$ 平面上に図示せよ．

Putnam 1975 A2

複素数係数の非定数の分数変換 $T (z) = (a z + b) / (c z + d) (a d - b c \neq 0)$ が，閉単位円板の近傍で分母0をもたず，単位円周を単位円周へ，開単位円板をその内部へ全単射に移すとする．このような $T$ をすべて求めよ．

DISCUSSION

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