問題 52

問題052｜複素数で見抜く不変量

難易度 D 目安 60分

前半戦

実係数多項式 $P (x, y, z)$ と関数 $F$ が，すべての実数 $x, y, z, u$ に対して $P (u x, u y, u z) = u^{2} F (y - x, z - x)$ を満たす．また $P (1, 0, 0) = 4, P (0, 1, 0) = 5, P (0, 0, 1) = 6$ とする．複素数 $A, B, C$ が $P (A, B, C) = 0, | B - A | = 10$ を満たすとき， $| C - A |$ を求めよ．

Putnam 1987 A4

単位円上の相異なる3点 $a, b, c$ を頂点とする三角形の垂心を $h$ とする． $h = a + b + c$ を示せ．さらに3辺の中点と，3頂点から垂心までの線分の中点が，同じ円上にあることを示し，その中心と半径を求めよ．

後半戦

単位円に内接する正三角形を $A B C$ ，円の中心を $O$ とする．円の内部の点 $P$ について， $P A, P B, P C$ を3辺の長さとする三角形が存在することを示し，その面積を $O P$ で表せ．

Putnam 2003 B5

正の整数 $n$ に対し $f_{n} (z) = n + (n - 1) z + \dots + z^{n - 1}$ とする． $f_{n}$ が閉単位円板 $| z | \leq 1$ に零点をもたないことを示せ．

Putnam 2018 B2

DISCUSSION

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