問題053｜ベクトルの係数と面積比

三角形 $ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ 上に，$BD:DC=1:2,CE:EA=2:3,AF:FB=3:1$ となる点 $D,E,F$ をとる．直線 $AD,BE,CF$ が一点 $P$ で交わることを示し，$\overrightarrow{AP}$，$AP:PD$，および3つの三角形 $PBC,PCA,PAB$ の面積比を求めよ．

一次独立な平面ベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ をとる．$s,t\ge 0,s+2t\le 2,2s+t\le 2$ を満たす実数 $s,t$ に対し，$\overrightarrow{OP}=s\mathbf{a}+t\mathbf{b}$ とする．点 $P$ の動く領域の頂点を求め，その面積を三角形 $OAB$ の面積 $S$ で表せ．ただし $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とする．

$t>0$ とする．三角形 $ABC$ の辺上に $BD:DC=CE:EA=AF:FB=t:1$ となる点 $D,E,F$ をとる．直線 $AD,BE$ の交点を $P$，直線 $BE,CF$ の交点を $Q$，直線 $CF,AD$ の交点を $R$ とするとき，$[PQR]/[ABC]$ を求めよ．$t=1$ では面積を0とする．

3次元空間の空でない点集合 $A_0$ をとる．集合 $A$ の2点を結ぶすべての閉線分の和集合を $S(A)$ とし，$A_{n+1}=S(A_n)$ と定める．同じ点同士を結ぶ線分も許す．$A_2=A_3=A_4=\cdots$ を示せ．

Putnam 1963 PM6