問題 54

問題054｜内積と距離の不変量

難易度 D 目安 60分

前半戦

$A = (0, 0), B = (4, 0), C = (1, 3)$ とする．点 $P$ が直線 $x + y = 2$ 上を動くとき， $P A^{2} + 2 P B^{2} + 3 P C^{2}$ の最小値と，それを与える $P$ を求めよ．

四面体 $A B C D$ で $A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ が成り立つとする． $A D ⟂ B C$ を示せ．また， $A D ⟂ B C$ と $A C ⟂ B D$ が成り立てば $A B ⟂ C D$ も成り立つことを示せ．

単位球面上に $n$ 個の点 $P_{1}, \dots, P_{n}$ がある．すべての2点間の距離の平方の和が $n^{2}$ 以下であることを示し，等号条件を求めよ．

Putnam 1968 A4

平面上に，どの2点間の距離も奇数の整数であるような4点は存在しないことを示せ．

Putnam 1993 B5

DISCUSSION

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