問題 55

問題055｜空間のベクトルと四面体

難易度 D 目安 60分

前半戦

立方体 $0 \leq x, y, z \leq 1$ を平面 $x + y + z = 3 / 2$ で切った切り口の頂点をすべて求め，その面積を求めよ．

$a, b, c > 0$ とし，四面体の頂点を $O = (0, 0, 0), A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c)$ とする．外接球の中心と半径を求めよ．さらに体積が $V$ に固定されるとき，外接球の半径の最小値を求めよ．

空間内の鋭角三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ に2点 $P_{4}, P_{5}$ を加え，どの3点も一直線上になく，任意の2点を結ぶ直線が残り3点の作る平面に垂直となるようにできることを示せ．2点の具体的な位置も与えよ．

Putnam 1975 A6

一次独立な空間ベクトル $a, b, c$ をとる．これらを3辺とする平行六面体を $E$ とし，

0 \leq a \cdot x \leq | a |^{2}, 0 \leq b \cdot x \leq | b |^{2}, 0 \leq c \cdot x \leq | c |^{2}

を満たす点 $x$ の集合を $H$ とする． $H$ も平行六面体であることを示し，その3辺を外積で表せ．さらに両者の体積の積を求めよ．

Putnam 1949 AM2

DISCUSSION

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