問題 10

問題010｜数式

難易度 D 目安 40

前半戦

任意の正の整数 $a$ に対して，分数

\frac{a^{3} + 2 a}{a^{4} + 3 a^{2} + 1}

が既約分数であることを証明せよ．

次の式を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ は存在しないことを示せ．

x^{3} - y^{3} = 6 x y^{2} z^{3}

関数

F (θ) = \sin^{4} θ + \cos^{4} θ - \frac{2}{3} (\sin^{3} θ + \cos^{3} θ)

の $0 \leq θ \leq 2 π$ における最大値と最小値を求めよ．

後半戦

$2^{n} - 1$ を割り切る $2$ 以上の整数 $n$ は存在するか．存在するならばその例を一つ挙げ，存在しないならばそのことを証明せよ．ただし，フェルマーの小定理「奇素数 $p$ に対して， $p$ は $2^{p - 1} - 1$ を割り切る」を用いてもよい．

ヒント設問 1

ヒント 1

分母から分子の $a$ 倍を引くと $a^{2} + 1$ になる．

ヒント 2

同じように整数倍を引く操作を繰り返し，分子と分母の最大公約数を調べる．

ヒント設問 2

ヒント 1

$x, y$ を最大公約数で割り，互いに素な正の整数に直す．

ヒント 2

与えられた式から，それぞれが他方の $3$ 乗を割り切ることに注目する．

ヒント設問 3

ヒント 1

$t = \sin θ + \cos θ$ とおくと， $\sin θ \cos θ = (t^{2} - 1) / 2$ と表せる．

ヒント 2

$t$ の変域を求め， $F (θ)$ を $t$ の多項式に直して最大値と最小値を調べる．

ヒント設問 4

ヒント 1

条件を満たす $n$ が存在すると仮定し，その最小の素因数を $p$ とする．

ヒント 2

$p$ が $2^{q} - 1$ を割り切る最小の正の整数 $q$ を考え， $q$ が $n$ を割り切ることを示す．

解答設問 1

分子と分母の最大公約数が $1$ であることを示す．

\begin{aligned} a^{4} + 3 a^{2} + 1 & = a (a^{3} + 2 a) + (a^{2} + 1), \\ a^{3} + 2 a & = a (a^{2} + 1) + a, \\ a^{2} + 1 & = a \cdot a + 1 \end{aligned}

であるから，ユークリッドの互除法より，

\begin{aligned} gcd (a^{4} + 3 a^{2} + 1, a^{3} + 2 a) & = gcd (a^{3} + 2 a, a^{2} + 1) \\ = gcd (a^{2} + 1, a) \\ = gcd (a, 1) = 1 \end{aligned}

となる．したがって，任意の正の整数 $a$ に対して，与えられた分数は既約分数である．

別解（整数の組合せで1を作る）

分子を $N = a^{3} + 2 a = a (a^{2} + 2)$ ，分母を $D = a^{4} + 3 a^{2} + 1$ とすると，

(a^{2} + 1) D - N^{2} = 1

が成り立つ．したがって $N, D$ の任意の公約数は左辺の1も割り切るので，最大公約数は1である．この恒等式は， $u = a^{2} + 1$ とおいて

u (u^{2} + u - 1) - (u - 1) (u + 1)^{2} = 1

とまとめれば確かめられる．整数の二式の組合せで1を作れれば，互いに素であることが一度に示せる．

解答設問 2

条件を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ が存在すると仮定する． $d = gcd (x, y)$ とおき， $x = d a, y = d b$ と表すと， $a, b$ は互いに素な正の整数である．与えられた式を $d^{3}$ で割ると，

a^{3} - b^{3} = 6 a b^{2} z^{3}

を得る．この式より $a$ は $b^{3}$ を割り切り， $b$ は $a^{3}$ を割り切る．一方， $a, b$ は互いに素なので， $a$ と $b^{3}$ ， $b$ と $a^{3}$ もそれぞれ互いに素である．したがって $a = b = 1$ でなければならない．これを上の式に代入すると $0 = 6 z^{3}$ となり， $z$ が正の整数であることに矛盾する．よって，条件を満たす正の整数の組は存在しない．

解答設問 3

$t = \sin θ + \cos θ$ とおく． $t^{2} = 1 + 2 \sin θ \cos θ$ より，

\sin θ \cos θ = \frac{t^{2} - 1}{2}

である．また， $t = \sqrt{2} \sin (θ + π / 4)$ であり， $0 \leq θ \leq 2 π$ において $t$ は区間 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ のすべての値をとる．

ここで，

\sin^{4} θ + \cos^{4} θ = 1 - 2 (\sin θ \cos θ)^{2}

\sin^{3} θ + \cos^{3} θ = (\sin θ + \cos θ) (1 - \sin θ \cos θ)

であるから，

F (θ) = 1 - \frac{(t^{2} - 1)^{2}}{2} - \frac{2}{3} t (1 - \frac{t^{2} - 1}{2}) = - \frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{3} t^{3} + t^{2} - t + \frac{1}{2}

となる．右辺を $G (t)$ とおくと，

G^{'} (t) = - 2 t^{3} + t^{2} + 2 t - 1 = - (t + 1) (2 t - 1) (t - 1)

である．したがって， $G (t)$ は $[- \sqrt{2}, - 1]$ で増加， $[- 1, 1 / 2]$ で減少， $[1 / 2, 1]$ で増加， $[1, \sqrt{2}]$ で減少する．各区間の端点における値は，

\begin{aligned} G (- \sqrt{2}) & = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}, & G (- 1) & = \frac{5}{3}, \\ G (\frac{1}{2}) & = \frac{25}{96}, & G (1) & = \frac{1}{3}, \\ G (\sqrt{2}) & = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} \end{aligned}

である．これらを比較すると，最大値は $G (- 1) = 5 / 3$ ，最小値は $G (\sqrt{2}) = 1 / 2 - \sqrt{2} / 3$ となる．

$t = - 1$ ，すなわち $\sin θ + \cos θ = - 1$ となるのは $θ = π, 3 π / 2$ のときであり， $t = \sqrt{2}$ となるのは $θ = π / 4$ のときである．よって，求める値は，

\begin{aligned} 最大値 & \frac{5}{3} & (θ = π, \frac{3 π}{2}), \\ 最小値 & \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} & (θ = \frac{π}{4}) \end{aligned}

である．

解答設問 4

そのような整数 $n$ は存在しない．

$n \geq 2$ かつ $n ∣ 2^{n} - 1$ を満たす整数 $n$ が存在すると仮定し， $n$ の最小の素因数を $p$ とする． $2^{n} - 1$ は奇数なので $n$ も奇数であり， $p$ は奇素数である．

フェルマーの小定理より $2^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ であるから， $2^{q} \equiv 1 (\mod p)$ を満たす正の整数 $q$ のうち最小のものが存在する． $q = 1$ ならば $p ∣ 2^{1} - 1 = 1$ となって不可能なので，

2 \leq q \leq p - 1

である．ここで， $n = k q + r$ ， $0 \leq r < q$ と表すと，

1 \equiv 2^{n} = (2^{q})^{k} 2^{r} \equiv 2^{r} (\mod p)

となる．もし $r > 0$ ならば $q$ の最小性に反するので， $r = 0$ である．したがって $q ∣ n$ が成り立つ．

$q \geq 2$ より， $q$ の素因数を一つ取り， $ℓ$ とする． $q ∣ n$ なので $ℓ$ は $n$ の素因数でもあるが，

ℓ \leq q \leq p - 1 < p

となり， $p$ が $n$ の最小の素因数であることに矛盾する．よって，条件を満たす整数 $n$ は存在しない．

DISCUSSION

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