問題 09

問題009｜接線の通過領域と有理数解

難易度 D 目安 45

前半戦

$0 \leq t \leq \frac{2}{3} \sqrt{3}$ を満たす実数 $t$ に対して， $x y$ 平面上の2点 $A$ ， $B$ を

A (\frac{2}{3} t, - \frac{8}{3} t), B (t + 1, t^{3} + 3 t^{2} - 4 t - 4)

と定める． $t$ が $0 \leq t \leq \frac{2}{3} \sqrt{3}$ の範囲を動くとき，直線 $A B$ の通る範囲を図示せよ．

後半戦

次の等式を満たす有理数の組 $(x, y)$ は存在しないことを証明せよ．

x - \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y} = 4

$x y$ 平面上の放物線 $C : y = x^{2}$ 上に2点

P (t - 2, (t - 2)^{2}), Q (t + 4, (t + 4)^{2})

がある．ただし， $t \neq 0$ とする．線分 $P Q$ 上にない2点 $R$ ， $S$ を，四角形 $P R Q S$ の各辺が $x$ 軸または $y$ 軸に平行になるようにとる． $t$ が0以外の実数全体を動くとき，線分 $R S$ が通過しうる領域を図示せよ．

ヒント設問 1

ヒント 1

2点の座標から直線 $A B$ の方程式を求め， $y$ を $t$ の式で表す．

ヒント 2

$x$ を固定し， $y = (3 t^{2} - 4) x - 2 t^{3}$ の最大・最小を指定された $t$ の区間で調べる．端点に加え， $t$ に関する導関数が0となる点も確認せよ．

ヒント設問 2

ヒント 1

積 $u = x y$ を導入し，元の式を $(x + y) (x y - 1) = 4 x y$ と書く．和と積から作る2次方程式の判別式を調べる．

ヒント 2

判別式が有理数の平方になる条件を，互いに素な整数を用いて書き直す．積が平方数であることとピタゴラス数の表示を使い，同じ条件を満たすより小さい整数の組を作ることを目指せ．

ヒント設問 3

ヒント 1

$R, S$ の座標を求め， $u = t + 1$ とおく．直線 $R S$ の式に加えて，線分上にある条件も書き出す．

ヒント 2

$x$ を固定すると， $y = 3 u^{2} - 2 x u + 9$ を $x - 3 \leq u \leq x + 3$ で調べればよい．最後に， $t = 0$ と図形が退化する $t = - 1$ を除く影響を確認せよ．

解答設問 1

2点 $A$ ， $B$ を通る直線の方程式を整理すると，

y = (3 t^{2} - 4) x - 2 t^{3}

となる．これは，

y - (t^{3} - 4 t) = (3 t^{2} - 4) (x - t)

と書ける．したがって，この直線は3次曲線 $y = x^{3} - 4 x$ 上の点 $(t, t^{3} - 4 t)$ における接線である．よって，求める範囲は， $0 \leq t \leq 2 \sqrt{3} / 3$ に対応する接線が通過する領域である．下側境界は $y = - 4 x$ と $y = - 16 \sqrt{3} / 9$ の小さい方，上側境界は $x \leq 0$ で $y = - 4 x$ ， $0 \leq x \leq 2 \sqrt{3} / 3$ で $y = x^{3} - 4 x$ ， $x \geq 2 \sqrt{3} / 3$ で $y = - 16 \sqrt{3} / 9$ となる．図の灰色部分が求める領域である．

前半戦：直線ABの通過領域を灰色で表示．直線y=-4x，水平線y=-16√3/9，0≦x≦2√3/3の3次曲線が境界．破線は代表的な接線．

解答設問 2

背理法で証明する．与式を満たす有理数の組 $(x, y)$ が存在すると仮定する． $x$ を $- 1 / x$ に，または $y$ を $- 1 / y$ に置き換えても与式は変わらないので， $x > 0$ ， $y > 0$ と仮定してよい． $u = x y$ とおくと，

(x + y) (x y - 1) = 4 x y, x + y = \frac{4 u}{u - 1}

である．ここで， $u > 0$ ， $u \neq 1$ である． $x, y$ は

T^{2} - \frac{4 u}{u - 1} T + u = 0

の有理数解なので，判別式は有理数の平方である．したがって

u (6 u - u^{2} - 1)

も有理数の平方である．互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $u = q / p$ と書くと，

u (6 u - u^{2} - 1) = \frac{p q (6 p q - p^{2} - q^{2})}{p^{4}}

であるから， $p q (6 p q - p^{2} - q^{2})$ は整数の平方である．また $p, q, 6 p q - p^{2} - q^{2}$ はどの2つも互いに素であるため，正整数 $s, t, w$ が存在して

p = s^{2}, q = t^{2}, 6 p q - p^{2} - q^{2} = w^{2}

と書ける．よって

w^{2} = 6 s^{2} t^{2} - s^{4} - t^{4} = (2 s t)^{2} - (s^{2} - t^{2})^{2}

を得る． $s, t$ を入れ替えて $s > t > 0$ とし，この形の正整数解のうち $s + t$ が最小のものをとる．

三平方の関係 $w^{2} + (s^{2} - t^{2})^{2} = (2 s t)^{2}$ を考えると， $s, t$ はともに奇数， $w$ は偶数であり，

{(\frac{w}{2})}^{2} + {(\frac{s^{2} - t^{2}}{2})}^{2} = (s t)^{2}

は原始ピタゴラス数を与える．したがって互いに素な正整数 $m, n$ が存在し，一方を偶数，他方を奇数として

s^{2} - t^{2} = 4 m n, s t = m^{2} + n^{2}

と書ける． $m$ を偶数， $n$ を奇数としてよい． $(s + t) (s - t) = 4 m n$ と互いに素性から，どの2つも互いに素な正整数 $A, B, C, D$ が存在して

s + t = 2 A B, s - t = 2 C D, m = A C, n = B D

と書ける．これらを $s t = m^{2} + n^{2}$ に代入すると

2 A^{2} B^{2} = (A^{2} + D^{2}) (B^{2} + C^{2})

を得る．また， $m$ が偶数であることから $C$ は偶数， $A, B, D$ は奇数であり，互いに素性を用いて

A^{2} = B^{2} + C^{2}, 2 B^{2} = A^{2} + D^{2}

となる．さらに $A^{2} = B^{2} + C^{2}$ を原始ピタゴラス数として表せば，互いに素な正整数 $a > b$ が存在して

A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2}, C = 2 a b

である．これを $2 B^{2} = A^{2} + D^{2}$ に代入すると

D^{2} = a^{4} + b^{4} - 6 a^{2} b^{2}

であり，したがって

(2 D)^{2} = 6 (a + b)^{2} (a - b)^{2} - (a + b)^{4} - (a - b)^{4}

を得る．これは $(a + b, a - b, 2 D)$ が初めと同じ形の正整数解であることを示す．しかし

0 < (a + b) + (a - b) = 2 a < 2 B (a^{2} + b^{2}) = s + t

であり， $s + t$ の最小性に反する．よって矛盾であり，与式を満たす有理数の組 $(x, y)$ は存在しない．

解答設問 3

点 $R, S$ の座標は

R = (t - 2, (t + 4)^{2}), S = (t + 4, (t - 2)^{2})

である．したがって，直線 $R S$ の傾きは

\frac{(t - 2)^{2} - (t + 4)^{2}}{6} = - 2 (t + 1)

であり，その方程式は $y = - 2 (t + 1) x + 3 (t + 1)^{2} + 9$ となる． $u = t + 1$ とおけば，

y = 3 u^{2} - 2 x u + 9, u - 3 \leq x \leq u + 3

すなわち $x - 3 \leq u \leq x + 3$ である．まず $u = 1$ も許して考え， $x$ を固定して

g (u) = 3 u^{2} - 2 x u + 9 = 3 {(u - \frac{x}{3})}^{2} + 9 - \frac{x^{2}}{3}

とおく．端点での値は

g (x - 3) = (x - 6)^{2}, g (x + 3) = (x + 6)^{2}

である．頂点 $u = x / 3$ が区間内にある条件は $- 9 / 2 \leq x \leq 9 / 2$ であり，このとき最小値は $9 - x^{2} / 3$ である．最大値は両端のうち大きい方なので， $x \leq 0$ では $(x - 6)^{2}$ ， $x \geq 0$ では $(x + 6)^{2}$ である．したがって， $u = 1$ も許した通過領域は

{\begin{array}{ll} (x + 6)^{2} \leq y \leq (x - 6)^{2}, & x \leq - \frac{9}{2}, \\ 9 - \frac{x^{2}}{3} \leq y \leq (x - 6)^{2}, & - \frac{9}{2} \leq x \leq 0, \\ 9 - \frac{x^{2}}{3} \leq y \leq (x + 6)^{2}, & 0 \leq x \leq \frac{9}{2}, \\ (x - 6)^{2} \leq y \leq (x + 6)^{2}, & \frac{9}{2} \leq x \end{array}

である．

最後に除外される $u$ を調べる．条件 $t \neq 0$ より $u \neq 1$ である．また $t = - 1$ ，すなわち $u = 0$ では $P = (- 3, 9)$ ， $Q = (3, 9)$ となり，線分 $P Q$ 上にない $R, S$ を条件どおりにとれないので， $u = 0$ も除く必要がある．固定した点 $(x, y)$ を通る $u$ は2次方程式

3 u^{2} - 2 x u + 9 - y = 0

の解である．したがって， $u = 0, 1$ を除くことで本当に失われる点は，この2次方程式の許される解がすべて $0, 1$ に含まれる場合だけである．重解 $u = 0$ から $(0, 9)$ ，重解 $u = 1$ から $(3, 6)$ ，2つの解が $0, 1$ である場合から $(3 / 2, 9)$ を得る．よって求める領域は上の領域から3点

(0, 9), (\frac{3}{2}, 9), (3, 6)

を除いたものである．図(a)は全体，図(b)は下側境界付近の拡大であり，赤い白丸は除外点を表す．

後半戦(3)：2つの端点軌跡と包絡線に挟まれた線分RSの通過領域．点(0,9)，(3/2,9)，(3,6)を除く．

別解 $u = t + 1$ とおくと，線分 $R S$ を含む直線は

L_{u} : y = - 2 u x + 3 u^{2} + 9

である．放物線 $C_{0} : y = 9 - \frac{x^{2}}{3}$ 上の $x = 3 u$ における接線の傾きは $- 2 u$ であり，その接線の方程式は $L_{u}$ に一致する．一方，端点 $R$ の軌跡は $y = (x + 6)^{2}$ ，端点 $S$ の軌跡は $y = (x - 6)^{2}$ である．接点 $x = 3 u$ が線分上にある条件は $u - 3 \leq 3 u \leq u + 3$ ，すなわち $- 3 / 2 \leq u \leq 3 / 2$ である．したがって， $- 9 / 2 \leq x \leq 9 / 2$ では包絡線 $C_{0}$ が下側の境界となり，その外側では端点の軌跡が下側の境界となる．最後に $u = 0, 1$ を除く影響を考えると，除かれる点は $(0, 9)$ ， $(3 / 2, 9)$ ， $(3, 6)$ だけである．

DISCUSSION

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