問題 08

問題008｜不等式と3次方程式

難易度 B 目安 45分

前半戦

実数 $x, y$ が

x = y, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

を満たしながら動くとする．このようなすべての $x, y$ に対して

y + b \leq (x + a)^{2}

が成り立つような点 $(a, b)$ の存在範囲を， $a b$ 平面上に図示せよ．

周の長さが一定である三角形のうち，面積が最大となるものはどのような三角形か．

後半戦

$a, b, c$ を実数とし，

P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - c

とする．方程式 $P (x) = 0$ の3つの解がすべて正の実数であるとき，

k = \frac{(b - a)^{2}}{c}

とおく． $k$ の最小値を求めよ．

3次方程式 $f (x) = 0$ が相異なる3つの解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ をもつような3次多項式 $f (x)$ を考える． $f (2 x)$ が $f^{'} (x)$ で割り切れるとき， $x_{1} : x_{2} : x_{3}$ を求めよ．ただし， $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ は複素数であってもよく，比も複素数の範囲で表すものとする．

ヒント設問 1

ヒント 1

$x = y = t$ とおき，すべての $0 \leq t \leq 1$ に対する条件を $b \leq (a + t)^{2} - t$ と書く．

ヒント 2

右辺を $t$ の2次関数とみる．頂点 $t = 1 / 2 - a$ が区間の左，内部，右のどこにあるかで最小値を分けよ．

ヒント設問 2

ヒント 1

半周長を $s$ とし，ヘロンの公式で面積を3辺の長さから表す．

ヒント 2

3辺を $x, y, z$ とすると，正の数 $s - x, s - y, s - z$ の和は一定の $s$ である．相加相乗平均の不等式と等号成立条件を使え．

ヒント設問 3

ヒント 1

正の3根を $p, q, r$ とおき，解と係数の関係で $b - a$ と $c$ を表す．

ヒント 2

六つの正の数 $p, q, r, p q, q r, r p$ に相加相乗平均の不等式を用いる．それらの積と $c$ の関係を調べ，等号が実現することも確かめよ．

ヒント設問 4

ヒント 1

最高次係数を1にして $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ とおく．商が1次式であることから $f (2 x) = (p x + q) f^{'} (x)$ と表す．

ヒント 2

係数を比較して $b, c$ を $a$ で表す． $a = 0$ を除外した後， $w = 3 x / a$ とおいて根に共通する倍率を取り除け．

解答設問 1

$x = y = t$ とおくと， $0 \leq t \leq 1$ であり，与えられた不等式は $t + b \leq (t + a)^{2}$ となる．したがって，すべての $t \in [0, 1]$ に対して $b \leq (a + t)^{2} - t$ が成り立てばよい．ここで，

F (t) = (a + t)^{2} - t = t^{2} + (2 a - 1) t + a^{2}

とおく． $F (t)$ は $t$ の下に凸な2次関数で，頂点の $t$ 座標は $t_{0} = \frac{1}{2} - a$ である．よって，区間 $0 \leq t \leq 1$ における最小値を頂点の位置に応じて求める．

(i) $a \leq - \frac{1}{2}$ のとき

$t_{0} \geq 1$ であるから，最小値は $t = 1$ のときの

F (1) = (a + 1)^{2} - 1 = a^{2} + 2 a

である．

(ii) $- \frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$ のとき

$0 \leq t_{0} \leq 1$ であるから，最小値は

F (t_{0}) = a - \frac{1}{4}

である．

(iii) $a \geq \frac{1}{2}$ のとき

$t_{0} \leq 0$ であるから，最小値は $t = 0$ のときの

F (0) = a^{2}

である．

以上より，求める領域は

b \leq {\begin{array}{ll} a^{2} + 2 a & (a \leq - \frac{1}{2}), \\ a - \frac{1}{4} & (- \frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}), \\ a^{2} & (a \geq \frac{1}{2}) \end{array}

で表される．境界を含み，各境界曲線より下側の領域が求める領域である．

別解（図形的な見方）

同じ条件は，放物線の平行移動を用いて捉えることもできる． $x = y = t$ とおき，さらに

X = x + a, Y = y + b

とおく．このとき， $(X, Y) = (a + t, b + t)$ であるから， $t$ が $0$ から $1$ まで動くと，点 $(X, Y)$ は2点 $(a, b)$ ， $(a + 1, b + 1)$ を結ぶ線分上を動く．また，与えられた不等式は $Y \leq X^{2}$ となる．したがって，求める条件は，この線分全体が放物線 $Y = X^{2}$ の下側に含まれることである．

同じ条件を $a b$ 平面で見ると，各 $t \in [0, 1]$ に対して

b \leq (a + t)^{2} - t

が必要である．等号で定まる放物線

C_{t} : b = (a + t)^{2} - t

は，放物線 $C_{0} : b = a^{2}$ をベクトル $(- t, - t)$ だけ平行移動したものである．したがって，求める領域は， $0 \leq t \leq 1$ に対応するすべての放物線 $C_{t}$ の下側の共通部分であり，その境界は放物線族の下側の包絡線となる．

以上の2つの考え方を図示すると，次のようになる．破線は放物線 $C_{t}$ の移動を，青い太線は求める領域の境界を表している．

放物線b=a^2をベクトル(-t,-t)だけ平行移動して得られる放物線族を破線で示し，その下側の共通部分を灰色，包絡境界を青い太線で示した図

解答設問 2

三角形の3辺の長さを $x, y, z$ とし，周の長さを $2 s$ とおく．このとき，

x + y + z = 2 s

であり， $s$ は一定である．また，三角形の面積を $S$ とすると，ヘロンの公式より，

S = \sqrt{s (s - x) (s - y) (s - z)}

である．

三角形が成立することから， $s - x, s - y, s - z$ はいずれも正である．さらに，

(s - x) + (s - y) + (s - z) = 3 s - (x + y + z) = s

であるから，相加平均と相乗平均の関係より，

\frac{s}{3} \geq \sqrt[3]{(s - x) (s - y) (s - z)}

となる．したがって，

(s - x) (s - y) (s - z) \leq {(\frac{s}{3})}^{3} = \frac{s^{3}}{27}

であり，

S \leq \sqrt{s \cdot \frac{s^{3}}{27}} = \frac{s^{2}}{3 \sqrt{3}}

を得る．

等号が成り立つのは，

s - x = s - y = s - z

のときであり，これは $x = y = z = \frac{2 s}{3}$ と同値である．よって，面積が最大となるのは3辺の長さが等しいときである．したがって，求める三角形は

正三角形

である．

解答設問 3

$P (x) = 0$ の3つの正の実数解を $p, q, r$ とする．解と係数の関係より，

a = - (p + q + r), b = p q + q r + r p, c = p q r

である．したがって，

b - a = p + q + r + p q + q r + r p

となる．6個の正の数 $p, q, r, p q, q r, r p$ に相加相乗平均の不等式を用いると，

b - a \geq 6 \sqrt[6]{p \cdot q \cdot r \cdot p q \cdot q r \cdot r p} = 6 \sqrt{p q r}

を得る．両辺は正であるから2乗して，

(b - a)^{2} \geq 36 p q r = 36 c

となる．よって $k \geq 36$ である．

等号が成り立つためには

p = q = r = p q = q r = r p

であればよく，実際に $p = q = r = 1$ のとき等号が成り立つ．このとき $a = - 3, b = 3, c = 1$ であり， $k = 36$ となる．したがって，求める最小値は

36

である．

解答設問 4

最高次係数で割ることにより， $f (x)$ は

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

とおいてよい． $f (2 x)$ は $f^{'} (x)$ で割り切れ，両者の次数の差は $1$ であるから，ある定数 $p, q$ を用いて

8 x^{3} + 4 a x^{2} + 2 b x + c = (3 x^{2} + 2 a x + b) (p x + q)

と表せる．両辺の係数を比較すると，

3 p = 8, 2 a p + 3 q = 4 a,

b p + 2 a q = 2 b, b q = c

を得る．これらを順に解くと，

p = \frac{8}{3}, q = - \frac{4 a}{9}, b = \frac{4 a^{2}}{3}, c = - \frac{16 a^{3}}{27}

となる．したがって，

f (x) = x^{3} + a x^{2} + \frac{4 a^{2}}{3} x - \frac{16 a^{3}}{27}

である．

ここで $a = 0$ とすると $f (x) = x^{3}$ となり， $f (x) = 0$ は相異なる3つの解をもたない．よって $a \neq 0$ である． $w = \frac{3 x}{a}$ とおくと，

\begin{aligned} \frac{27}{a^{3}} f (\frac{a w}{3}) & = w^{3} + 3 w^{2} + 12 w - 16 \\ = (w - 1) (w^{2} + 4 w + 16) \end{aligned}

となる．したがって， $w$ の値は

1, - 2 + 2 \sqrt{3} i, - 2 - 2 \sqrt{3} i

である． $x = \frac{a}{3} w$ であり， $\frac{a}{3} \neq 0$ は3つの解に共通する因子であるから，解の順序を適切に定めれば，

x_{1} : x_{2} : x_{3} = 1 : (- 2 + 2 \sqrt{3} i) : (- 2 - 2 \sqrt{3} i)

となる．

DISCUSSION

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