問題 07

問題007｜整式とデータの分析

難易度 D 目安 60分

前半戦

2次式

a x^{2} + b x + 1

を $x - a$ で割ると $a$ 余り， $x - b$ で割ると $b$ 余るという． $a, b$ を求めよ．ただし， $a, b$ は相異なる整数とする．

$n$ 個の実数データを，個数 $k$ と $n - k$ の二組に分ける．ただし $1 \leq k < n$ とする．全体の平均値と分散を $μ, σ^{2}$ ，二組の平均値と分散をそれぞれ $μ_{1}, s_{1}^{2}$ と $μ_{2}, s_{2}^{2}$ とする．分散は偏差の二乗の和をデータ数で割ったものと定義する．
(1) 全体の分散を，二組の分散と平均値の差を用いて表せ．
(2) $n, k, μ, σ$ を固定し， $σ > 0$ とする．全体の平均値が $μ$ ，分散が $σ^{2}$ となる実数データ全体を動かすとき， $μ_{1}$ の最大値を $n, k, μ, σ$ で表し，等号を実現するデータをすべて求めよ．

後半戦

$n$ を正の整数とする． $x \neq 0$ に対して，

f (x) = x^{n} - \frac{1}{x^{n}}, z = x - \frac{1}{x}

とおく．実数係数の多項式 $g (t)$ を用いて，すべての実数 $x \neq 0$ に対して

f (x) = g (z)

と表せるための必要十分条件は， $n$ が奇数であることを証明せよ．

三つの変量 $X, Y, Z$ を同じ $n$ 個の対象について観測し，各変量の分散は正とする．相関係数を

ρ_{U V} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (U_{i} - \overset{―}{U}) (V_{i} - \overset{―}{V})}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (U_{i} - \overset{―}{U})^{2}} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (V_{i} - \overset{―}{V})^{2}}}

と定める． $- 1 < a < 1, - 1 < b < 1$ を固定し， $ρ_{X Y} = a, ρ_{X Z} = b$ とする．
(1) $ρ_{Y Z}$ の取り得る範囲に必要な不等式を求めよ．
(2) その範囲のすべての値が， $n = 4$ の実数データによって実現できることを，具体的な構成で示せ．

ヒント設問 1

ヒント 1

剰余の定理から $f (a) = a, f (b) = b$ と表す． $f (x) - x$ はどの二つの数を根にもつか．

ヒント 2

$a = 0$ が不可能なことを確認し， $f (x) - x = a (x - a) (x - b)$ の定数項を比較する． $a, b$ が相異なる整数であることを使え．

ヒント設問 2

ヒント 1

第一組の各値について $x - μ = (x - μ_{1}) + (μ_{1} - μ)$ とおいて二乗和をとる．交差項の和は消える．

ヒント 2

$k (μ_{1} - μ) + (n - k) (μ_{2} - μ) = 0$ を使って片方の平均値を消去する．分散は非負であり，零になる条件も明確にする．

ヒント設問 3

ヒント 1

$x$ を $- 1 / x$ に置き換えると， $z = x - 1 / x$ と $x^{n} - x^{- n}$ がそれぞれどう変わるかを調べる．

ヒント 2

十分性では $r = x, s = - 1 / x$ とおく． $r + s = z, r s = - 1$ を用いて， $r^{n} + s^{n}$ が $z$ の多項式になることを漸化式で示せ．

ヒント設問 4

ヒント 1

各変量から平均を引き，標準偏差で割って平均 $0$ ，分散 $1$ にそろえる． $Y - a X, Z - b X$ の二乗の平均と積の平均を計算する．

ヒント 2

四つの観測値からなる列 $u = (1, 1, - 1, - 1), v = (1, - 1, 1, - 1), w = (1, - 1, - 1, 1)$ を使う．どれも平均 $0$ ，分散 $1$ ，相異なる二列の積の平均は $0$ である．

解答設問 1

f (x) = a x^{2} + b x + 1

とおく．

剰余の定理より，

f (a) = a, f (b) = b

である．したがって，

\begin{matrix} (1) & a^{3} + a b + 1 = a \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & a b^{2} + b^{2} + 1 = b \end{matrix}

を得る．

ここで， $f (a) - f (b) = a - b$ より，

a (a^{2} - b^{2}) + b (a - b) = a - b .

$a \neq b$ であるから，両辺を $a - b$ で割って

a (a + b) + b = 1.

よって，

a^{2} + a b + b - 1 = 0,

すなわち

(a + 1) (a + b - 1) = 0.

したがって，

a = - 1

または

a + b = 1

である．

(i) $a = - 1$ のとき

(1) に代入すると，

- 1 - b + 1 = - 1

より，

b = 1.

したがって，

(a, b) = (- 1, 1) .

(ii) $a + b = 1$ のとき

$b = 1 - a$ を (1) に代入すると，

a^{3} + a (1 - a) + 1 = a,

したがって，

a^{3} - a^{2} + 1 = 0.

$a$ は整数であるから，整数解が存在するならば，整数根の定理より $a$ は定数項 $1$ の約数でなければならない．したがって，

a = \pm 1

のみを調べればよい．しかし，

1^{3} - 1^{2} + 1 = 1 \neq 0,

(- 1)^{3} - (- 1)^{2} + 1 = - 1 \neq 0.

よって，この場合には整数解は存在しない．以上より，求める整数 $a, b$ は

(a, b) = (- 1, 1)

である．

別解（二つの根から定数項を比べる）

$f (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおくと，剰余の定理から $f (a) = a, f (b) = b$ である． $a = 0$ は $f (a) = a$ に反するので $a \neq 0$ であり，2次式 $f (x) - x$ は相異なる二根 $a, b$ をもつ．したがって

f (x) - x = a (x - a) (x - b) .

定数項を比較すると $a^{2} b = 1$ となる． $a, b$ は整数だから $a = \pm 1, b = 1$ であり， $a \neq b$ より $(a, b) = (- 1, 1)$ に限る．実際，このとき $f (x) = - x^{2} + x + 1$ は $f (- 1) = - 1, f (1) = 1$ を満たす．

解答設問 2

第一組の各値を $x_{i}$ と書くと， $\sum (x_{i} - μ_{1}) = 0$ より

\sum_{第一組} (x_{i} - μ)^{2} = k s_{1}^{2} + k (μ_{1} - μ)^{2}

である．第二組でも同様に計算し， $k μ_{1} + (n - k) μ_{2} = n μ$ を用いると

σ^{2} = \frac{k}{n} s_{1}^{2} + \frac{n - k}{n} s_{2}^{2} + \frac{k (n - k)}{n^{2}} (μ_{1} - μ_{2})^{2} .

これが (1) の答えである．各組の内部のばらつきに加え，組の平均値の違いも全体の分散を生む．

(2) では平均値の関係から $μ_{2} - μ = - k (μ_{1} - μ) / (n - k)$ となる．上の計算をこの形でまとめ直すと

σ^{2} = \frac{k}{n} s_{1}^{2} + \frac{n - k}{n} s_{2}^{2} + \frac{k}{n - k} (μ_{1} - μ)^{2} .

よって

μ_{1} \leq μ + σ \sqrt{\frac{n - k}{k}} .

この上限で等号が成り立つには，両組の分散がともに零でなければならない．したがって第一組の $k$ 個がすべて $μ + σ \sqrt{(n - k) / k}$ ，第二組の $n - k$ 個がすべて $μ - σ \sqrt{k / (n - k)}$ であることが必要である．逆にこのデータの平均は $μ$ ，分散は $σ^{2}$ となるので，上限は実際に達成される．これが等号を実現するデータのすべてである．

解答設問 3

z = x - \frac{1}{x}

とおく．ここで， $x^{n} - \frac{1}{x^{n}}$ が $z$ の多項式として表されるとき，その多項式を $P_{n} (z)$ と書くことにする．すなわち，

P_{n} (x - \frac{1}{x}) = x^{n} - \frac{1}{x^{n}}

を満たす実数係数多項式 $P_{n}$ が存在するかどうかを考える．

必要性

そのような多項式 $P_{n}$ が存在すると仮定する． $P_{n} (z)$ の次数は $n$ であり，その最高次項の係数は $1$ でなければならない．実際，

z^{n} = {(x - \frac{1}{x})}^{n}

の展開における $x^{n}$ の係数は $1$ であり， $x^{n}$ の項を生じるのは $P_{n} (z)$ の最高次項だけだからである．

したがって， $P_{n} (z)$ における $x^{- n}$ の係数は， $z^{n}$ の展開から生じる

(- 1)^{n}

でなければならない．一方，

x^{n} - \frac{1}{x^{n}}

における $x^{- n}$ の係数は $- 1$ である．よって，

(- 1)^{n} = - 1

でなければならないから， $n$ は奇数である．したがって， $n$ が奇数であることは必要である．

十分性

次に， $n$ が奇数ならば，そのような多項式 $P_{n}$ が存在することを示す．まず，

P_{1} (z) = z

とすれば，

P_{1} (x - \frac{1}{x}) = x - \frac{1}{x} .

また，

{(x - \frac{1}{x})}^{3} = x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}

より，

x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = z^{3} + 3 z

であるから，

P_{3} (z) = z^{3} + 3 z

とできる．ここで，ある $k \geq 2$ に対して

x^{2 k - 1} - \frac{1}{x^{2 k - 1}} = P_{2 k - 1} (z),

x^{2 k - 3} - \frac{1}{x^{2 k - 3}} = P_{2 k - 3} (z)

と表せると仮定する．すると，

(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) (x^{2 k - 1} - \frac{1}{x^{2 k - 1}}) = x^{2 k + 1} - \frac{1}{x^{2 k + 1}} + x^{2 k - 3} - \frac{1}{x^{2 k - 3}} .

一方，

z^{2} = {(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2

より，

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = z^{2} + 2.

したがって，

(z^{2} + 2) P_{2 k - 1} (z) = x^{2 k + 1} - \frac{1}{x^{2 k + 1}} + P_{2 k - 3} (z) .

よって，

P_{2 k + 1} (z) = (z^{2} + 2) P_{2 k - 1} (z) - P_{2 k - 3} (z)

と定めれば，

P_{2 k + 1} (z) = x^{2 k + 1} - \frac{1}{x^{2 k + 1}}

となる．したがって，数学的帰納法により，すべての正の奇数 $n$ に対して

x^{n} - \frac{1}{x^{n}}

は

x - \frac{1}{x}

の多項式として表すことができる．以上より，

x^{n} - \frac{1}{x^{n}} が x - \frac{1}{x} の実数係数多項式として表される ⟺ n は奇数

である．

別解（同じ値を与える置換と対称式）

$x$ を $- 1 / x$ に置き換えても $z = x - 1 / x$ は変わらない．一方， $n$ が偶数なら $x^{n} - x^{- n}$ は符号が反転する．例えば $x = 2$ ではこの値は零でないので，同じ $z$ の多項式で表すことはできない．よって $n$ は奇数でなければならない．

逆に $r = x, s = - 1 / x$ とおけば $r + s = z, r s = - 1$ である． $P_{0} (z) = 2, P_{1} (z) = z$ とし，

P_{n} (z) = z P_{n - 1} (z) + P_{n - 2} (z) (n \geq 2)

と定めると， $r^{2} = z r + 1, s^{2} = z s + 1$ より帰納的に $P_{n} (z) = r^{n} + s^{n}$ となる．奇数 $n$ ではこれが $x^{n} - x^{- n}$ に等しいので十分である．「同じ $z$ を与える二つの $x$ 」を調べると必要性がすぐに分かり，その二つの和と積から多項式も作れる．

解答設問 4

平均を引いて標準偏差で割っても相関係数は変わらないので，各変量を平均 $0$ ，分散 $1$ にそろえる．以下，積の平均を $⟨ U, V ⟩ = \frac{1}{n} \sum U_{i} V_{i}$ と書き， $c = ρ_{Y Z}$ とする． $U = Y - a X, V = Z - b X$ とおけば

⟨ U, U ⟩ = 1 - a^{2}, ⟨ V, V ⟩ = 1 - b^{2}, ⟨ U, V ⟩ = c - a b .

実数 $t$ に対して $⟨ t U - V, t U - V ⟩ \geq 0$ である．この二次式の最小値を求めると

(c - a b)^{2} \leq (1 - a^{2}) (1 - b^{2}) .

したがって必要な範囲は

a b - \sqrt{(1 - a^{2}) (1 - b^{2})} \leq c \leq a b + \sqrt{(1 - a^{2}) (1 - b^{2})} .

逆にこの範囲の任意の $c$ に対し

t = \frac{c - a b}{\sqrt{1 - a^{2}}}, h = \sqrt{1 - b^{2} - t^{2}}

とおく．仮定から根号内は非負である．四つの数からなる列

u = (1, 1, - 1, - 1), v = (1, - 1, 1, - 1), w = (1, - 1, - 1, 1)

を用い，観測値の列を

X = u, Y = a u + \sqrt{1 - a^{2}} v, Z = b u + t v + h w

と定める．三列 $u, v, w$ の平均は $0$ ，各二乗の平均は $1$ ，異なる二列の積の平均は $0$ である．ゆえに $X, Y, Z$ の平均はすべて $0$ ，分散はすべて $1$ であり，積の平均を計算すると

ρ_{X Y} = a, ρ_{X Z} = b, ρ_{Y Z} = a b + \sqrt{1 - a^{2}} t = c .

したがって必要条件は十分でもあり，両端を含めたすべての値が四つの観測値で実現する．

DISCUSSION

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名前未設定 2026/9/7 14:28

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因数分解に時間がかかりすぎた🥲