問題 11

問題011｜整数と有理数

難易度 C 目安 50

前半戦

正の整数 $a, b$ に対して， $a x + b y = gcd (a, b)$ を満たす整数 $x, y$ が存在することを示せ．また，任意の整数 $x, y$ に対して， $gcd (a, b)$ は $a x + b y$ を割り切ることを示せ．

フィボナッチ数列を $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ （ $n \geq 1$ ）で定める．任意の正の整数 $n$ に対して， $F_{n}$ と $F_{n + 1}$ が互いに素であることを示せ．

実数 $p, q$ に対して，任意の2次関数 $f (x)$ について

\int_{- 2}^{2} f (x) (x^{3} + p x + q) d x = 0

が成り立つという．このとき， $p, q$ の値を求めよ．

後半戦

方程式

x^{y} = y^{x}

を満たす，互いに異なる正の有理数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ．すべての解を与える公式を示せ．

次の式を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ は存在しないことを示せ．

x^{2} + 10 y^{2} = 3 z^{2}

ヒント設問 1

ヒント 1

ユークリッドの互除法に現れる余りが，すべて $a, b$ の整数係数の一次結合で表せることに注目する．

ヒント 2

また， $a, b$ の公約数は，それらの整数倍の和も割り切る．

ヒント設問 2

ヒント 1

漸化式と $gcd (u + v, u) = gcd (u, v)$ を使い，添字を一つずつ小さくする．

ヒント 2

$gcd (F_{n + 1}, F_{n}) = gcd (F_{n}, F_{n - 1})$ を繰り返し，初期値まで戻せばよい．

ヒント設問 3

ヒント 1

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）とおき，積分の線形性と奇関数・偶関数の性質を使う．

ヒント 2

得られる式が，すべての $a \neq 0$ と実数 $b, c$ に対して成り立つ条件を考える．

ヒント設問 4

ヒント 1

対称性から $x < y$ とし， $k = y / x > 1$ とおく．

ヒント 2

$x^{k - 1} = k$ を導き， $1 / (k - 1) = p / q$ を既約分数で表す． $x$ が有理数であることから， $p$ と $p + q$ の素因数分解の指数を調べる．

ヒント設問 5

ヒント 1

平方数を $3$ で割った余りを考える．

ヒント 2

解が存在すると仮定したとき， $x, y, z$ がすべて $3$ の倍数となることを示し，より小さな正の整数解を作る．

解答設問 1

$d = gcd (a, b)$ とおく．必要ならば $a, b$ を入れ替え， $a \geq b$ としてよい．ユークリッドの互除法では，二つの数から，一方を他方で割った余りを順に求める．各段階で最大公約数は変わらず，正の余りは次第に小さくなるので，有限回で余りが $0$ となる．このとき，最後の $0$ でない数が $d$ である．

最初の二数は $a = 1 \cdot a + 0 \cdot b$ ， $b = 0 \cdot a + 1 \cdot b$ と表せる．また，ある段階の二数が $u = a x_{1} + b y_{1}$ ， $v = a x_{2} + b y_{2}$ と整数係数で表せるならば， $u$ を $v$ で割った商を $q$ ，余りを $r$ として，

r = u - q v = a (x_{1} - q x_{2}) + b (y_{1} - q y_{2})

となる．したがって，互除法に現れる数はすべて $a, b$ の整数係数の一次結合で表せる．特に，最後の $0$ でない数 $d$ についても， $a x + b y = d$ を満たす整数 $x, y$ が存在する．

次に， $d$ は $a, b$ の公約数なので，整数 $A, B$ を用いて $a = d A, b = d B$ と表せる．任意の整数 $x, y$ に対して $a x + b y = d (A x + B y)$ となり， $A x + B y$ は整数である．よって， $d$ は $a x + b y$ を割り切る．

解答設問 2

$n = 1$ のとき， $gcd (F_{2}, F_{1}) = gcd (1, 1) = 1$ である． $n \geq 2$ のとき，漸化式とユークリッドの互除法より，

\begin{aligned} gcd (F_{n + 1}, F_{n}) & = gcd (F_{n} + F_{n - 1}, F_{n}) \\ = gcd (F_{n}, F_{n - 1}) \end{aligned}

となる．これを繰り返すと $gcd (F_{n + 1}, F_{n}) = gcd (F_{2}, F_{1}) = 1$ を得る．したがって，任意の隣接するフィボナッチ数は互いに素である．

解答設問 3

任意の2次関数を $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ は実数， $a \neq 0$ ）と表す．積分の線形性より，

\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} f (x) (x^{3} + p x + q) d x & = a \int_{- 2}^{2} (x^{5} + p x^{3} + q x^{2}) d x \\ + b \int_{- 2}^{2} (x^{4} + p x^{2} + q x) d x \\ + c \int_{- 2}^{2} (x^{3} + p x + q) d x \end{aligned}

である．奇関数の $[- 2, 2]$ における積分は $0$ となるので，右辺は

\begin{aligned} 2 a q \int_{0}^{2} x^{2} d x + 2 b \int_{0}^{2} (x^{4} + p x^{2}) d x + 2 c q \int_{0}^{2} 1 d x \\ = \frac{16}{3} a q + b (\frac{64}{5} + \frac{16}{3} p) + 4 c q \end{aligned}

となる．これがすべての $a \neq 0$ と実数 $b, c$ に対して $0$ となる条件を調べる．まず $a = 1, b = c = 0$ ，すなわち $f (x) = x^{2}$ とすると， $\frac{16}{3} q = 0$ より $q = 0$ を得る．次に $a = b = 1, c = 0$ ，すなわち $f (x) = x^{2} + x$ とすると，

\frac{64}{5} + \frac{16}{3} p = 0

より $p = - 12 / 5$ となる．

逆に， $p = - 12 / 5, q = 0$ のとき，上の積分の計算結果は $a, b, c$ の値によらず $0$ となる．したがって，任意の2次関数について条件が成り立つ．よって，求める値は

p = - \frac{12}{5}, q = 0

である．

解答設問 4

方程式は $x, y$ について対称なので，まず $x < y$ の場合を考える． $k = y / x > 1$ とおくと， $x^{y} = y^{x}$ より $x^{k x} = (k x)^{x}$ となる．両辺の $1 / x$ 乗をとり， $x$ で割ると $x^{k - 1} = k$ を得る．したがって，

x = k^{1 / (k - 1)}, y = k^{k / (k - 1)}

である． $k$ は有理数なので， $1 / (k - 1) = p / q$ を，互いに素な正の整数 $p, q$ を用いた既約分数として表す．このとき $k = (p + q) / p$ であり，

x = {(\frac{p + q}{p})}^{p / q}, y = {(\frac{p + q}{p})}^{(p + q) / q}

となる．

ここで， $x$ を互いに素な正の整数 $A, B$ を用いて $x = A / B$ と表すと，

\frac{A^{q}}{B^{q}} = \frac{(p + q)^{p}}{p^{p}}

である． $gcd (p + q, p) = gcd (p, q) = 1$ より両辺は既約分数なので， $A^{q} = (p + q)^{p}$ ， $B^{q} = p^{p}$ が成り立つ．素因数分解の指数を比較し， $gcd (p, q) = 1$ を使うと， $p + q$ と $p$ の各素因数の指数はすべて $q$ の倍数でなければならない．したがって，正の整数 $m, n$ を用いて $p + q = m^{q}, p = n^{q}$ と表せる．

もし $q \geq 2$ ならば，二項展開より

(n + 1)^{q} \geq n^{q} + q n^{q - 1} + 1 > n^{q} + q

である．よって $n^{q} < m^{q} = n^{q} + q < (n + 1)^{q}$ となるが，これは $n < m < n + 1$ を意味し， $m$ が整数であることに矛盾する．したがって $q = 1$ である．以上より， $x < y$ の場合の解は，正の整数 $n$ を用いて

x = {(\frac{n + 1}{n})}^{n}, y = {(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}

と表されるものに限られる．

逆に，任意の正の整数 $n$ に対して $k = (n + 1) / n$ ， $x = k^{n}, y = k^{n + 1} = k x$ とおくと， $x, y$ は互いに異なる正の有理数であり， $x^{k - 1} = k$ が成り立つ．したがって，

x^{y} = x^{k x} = (x^{k})^{x} = (k x)^{x} = y^{x}

となるので，確かに解である．よって，求めるすべての組は

(x, y) = ({(\frac{n + 1}{n})}^{n}, {(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)

および，これらの $x, y$ を入れ替えた組である．

解答設問 5

条件を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ が存在すると仮定し，そのうち $z$ が最小となるものを取る．平方数を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ であり，与えられた式より，

x^{2} + y^{2} \equiv 0 (\mod 3)

となる．したがって， $x^{2}, y^{2}$ を $3$ で割った余りはともに $0$ であり， $x, y$ はともに $3$ の倍数である．正の整数 $x_{1}, y_{1}$ を用いて $x = 3 x_{1}, y = 3 y_{1}$ とおくと，

9 x_{1}^{2} + 90 y_{1}^{2} = 3 z^{2}

となる．両辺を $3$ で割ると $z^{2} = 3 x_{1}^{2} + 30 y_{1}^{2}$ を得るので， $z^{2}$ ，したがって $z$ も $3$ の倍数である．そこで $z = 3 z_{1}$ とおき，上の式に代入して両辺を $9$ で割ると，

x_{1}^{2} + 10 y_{1}^{2} = 3 z_{1}^{2}

を得る．よって， $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ も正の整数解であり， $z_{1} = z / 3 < z$ となる．これは $z$ の最小性に矛盾する．したがって，条件を満たす正の整数の組は存在しない．

DISCUSSION

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