問題012｜数式と整数

$n=1$ の場合を確認したうえで，$n=ab$（$a,b\ge 2$）と表せるときに $2^n-1$ を因数分解する．

$2^{ab}-1=(2^a-1)\{1+2^a+\cdots +2^{a(b-1)}\}$ で，両因子が1より大きいことを確かめよ．

与えられた2次式の判別式を計算し，$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$ を用いて表す．

最高次係数が正の2次式が負の値をとる条件は，判別式が正であることである．三つの実数が相異なるという仮定を最後に使え．

まず $y=0$ として $a$ の必要条件を調べる．

次に $y$ について平方完成し，$y=x/a$ に沿った値を考える．得られた条件のもとで，平方の和に変形して最小値が実際に達成されることを確かめる．

より強い主張として，$x^4+y^4=w^2$ を満たす正の整数解が存在しないことを示す．

$w$ が最小の解を仮定し，互いに素なピタゴラス数の表示を2回使って，さらに小さな解を作る．

$n=1$ のとき $2^n-1=1$ は素数ではない．したがって，$2^n-1$ が素数ならば $n\ge 2$ である．

ここで $n$ が合成数であると仮定すると，整数 $a,b\ge 2$ を用いて $n=ab$ と表せる．このとき，

となる．右辺の二つの因数はいずれも $1$ より大きい整数なので，$2^n-1$ は合成数である．よって，$2^n-1$ が素数ならば $n$ も素数である．

$f(x)=x^2+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)$ とおく．2次方程式 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると，

である．$a,b,c$ は相異なる実数なので $D>0$ となり，$f(x)=0$ は相異なる二つの実数解 $\alpha <\beta$ を持つ．したがって，

である．よって，与えられた2次式が負となる実数 $x$ が存在する．

別解（頂点に代入する）

存在を示すだけなら，負になる値を一つ示せばよい．$x=-(a+b+c)$ とすると，与式の値は

となる．最後の不等号は $a,b,c$ が相異なることによる．

まず，$f(x,0)=a{x}^2-2x$ である．$a\le 0$ ならば，$x$ を正の方向に限りなく大きくすると $f(x,0)$ は限りなく小さくなる．したがって，最小値が存在するためには $a>0$ が必要である．

$a>0$ のもとで $y$ について平方完成すると，

となる．ここで $y=x/a$ とすると，

である．$0<a\le 1$ ならば $(a^2-1)/a\le 0$ なので，$x$ を正の方向に限りなく大きくすると，この値は限りなく小さくなる．よって，最小値が存在するためには $a>1$ が必要である．

逆に $a>1$ のとき，さらに $x$ について平方完成すると，

となる．二つの平方の係数はともに正であり，

のとき両方の平方が同時に $0$ となる．したがって，$f(x,y)$ は最小値 $-a/(a^2-1)$ を持つ．以上より，求める範囲は

である．

別解 $x=X+Y,y=X-Y$ とおく．逆に $X=(x+y)/2,Y=(x-y)/2$ と表せるので，$(x,y)$ が座標平面全体を動くことは，$X,Y$ がそれぞれ独立にすべての実数を動くことと同じである．このとき，

となる．$a\le 1$ ならば，$Y=0$ として $X$ を正の方向に限りなく大きくすると，この値は限りなく小さくなる．一方，$a>1$ ならば，$X,Y$ それぞれについての2次式は2次の係数が正であり，それぞれの最小値を同時に達成できる．よって，この場合に限り $f(x,y)$ は最小値を持つ．

まず，互いに素なピタゴラス数について，次の補題を示す．

補題 正の整数 $a,b,c$ が $a^2+b^2=c^2$，$gcd(a,b)=1$ を満たし，$b$ が偶数であるとする．このとき，互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m>n$ を用いて，

と表せる．

補題の証明 $gcd(a,b)=1$ より，$a,b$ がともに偶数となることはない．また，平方数を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ なので，$a,b$ がともに奇数となることもない．したがって，$b$ が偶数ならば $a,c$ は奇数である．さらに，$a,c$ の共通の素因数は $b^2=c^2-a^2$，したがって $b$ も割り切るため，$gcd(a,c)=1$ である．

ここで，

と表す．右辺の二つの正の整数の公約数は，それらの和 $c$ と差 $a$ も割り切るので，両者は互いに素である．互いに素な正の整数の積が平方数ならば，素因数分解の指数を比較することにより，各整数も平方数である．よって，

と表せる．これから補題の表示を得る．また，$m,n$ は互いに素であり，$c=m^2+n^2$ が奇数なので偶奇が異なる．

本題の証明 より強い主張として，

を満たす正の整数の組 $(x,y,w)$ が存在しないことを示す．そのような解が存在すると仮定し，$w$ が最小となるものを取る．

まず，$gcd(x,y)=1$ である．実際，$d=gcd(x,y)>1$ ならば $d^4\mid w^2$ より $d^2\mid w$ であり，

は，より小さい正の整数 $w/d^2$ を持つ解となって矛盾する．

$x,y$ がともに奇数ならば $x^4+y^4$ を $4$ で割った余りは $2$ となり，平方数にはならない．必要ならば $x,y$ を入れ替え，$x$ を奇数，$y$ を偶数としてよい．$x^4+y^4=w^2$ に補題を用いると，互いに素で偶奇の異なる正の整数 $p>q$ によって，

と表せる．もし $p$ が偶数，$q$ が奇数ならば $x^2=p^2-q^2$ を $4$ で割った余りが $3$ となって不可能なので，$p$ は奇数，$q$ は偶数である．

次に，$x^2+q^2=p^2$ に注目する．$x,q$ の共通の素因数は $p^2=x^2+q^2$，したがって $p$ も割り切るので，$gcd(x,q)=1$ である．再び補題を用いると，互いに素な正の整数 $s>t$ によって，

と表せる．これを $y^2=2pq$ に代入すると，

となる．$gcd(s,t)=1$ であり，$p=s^2+t^2$ より $gcd(p,s)=gcd(p,t)=1$ なので，$p,s,t$ はどの二つも互いに素である．その積が平方数であることから，それぞれも平方数であり，正の整数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いて，

と表せる．したがって，$p=s^2+t^2$ より，

を得る．これは新たな正の整数解であり，$\alpha \le {\alpha }^2=p<p^2+q^2=w$ となるので，$w$ の最小性に矛盾する．よって，$x^4+y^4=w^2$ を満たす正の整数解は存在しない．

もし本題の式 $z^4=x^4+y^4$ を満たす正の整数解が存在すれば，$w=z^2$ とおくことで $x^4+y^4=w^2$ の正の整数解が得られてしまう．したがって，本題の式を満たす正の整数の組も存在しない．