問題 19

問題019｜式と数・整数

前半戦

$a, b$ を実数とする．二つの2次方程式

x^{2} + a x + b = 0, x^{2} + b x + a = 0

が共通の実数解を持つための必要十分条件を求めよ．

相異なる $7$ 以下の正の整数 $a, b, c, d, e, f, g$ を用いて，

a \times b \times c \times d + e \times f \times g

と表せる素数をすべて求めよ．

後半戦

正の整数 $m, n$ が $m < n$ を満たすとき，

\frac{gcd (m, n)}{n} (\binom{n}{m})

は整数であることを示せ．

$a, b, c, d, e, f$ を正の整数とし， $S = a + b + c + d + e + f$ とおく． $S$ が $a b c + d e f$ と $a b + b c + c a - d e - e f - f d$ の両方を割り切るとき， $S$ は合成数であることを示せ．

ヒント設問 1

ヒント 1

共通の実数解を $t$ とし，二つの式の差を取る．

ヒント 2

$a = b$ の場合は判別式を調べる．

ヒント設問 2

ヒント 1

$1, \dots, 7$ を4個と3個の組に分ける．

ヒント 2

二つの積の和が素数となるためには，偶数 $2, 4, 6$ は同じ組に入る必要がある．同様に $3, 6$ の配置を考える．

ヒント設問 3

ヒント 1

$λ m + μ n = gcd (m, n)$ を満たす整数 $λ, μ$ の存在を使う．

ヒント 2

$\frac{m}{n} (\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1})$ に注目する．

ヒント設問 4

ヒント 1

多項式 $P (x) = (x + a) (x + b) (x + c) - (x - d) (x - e) (x - f)$ を展開する．

ヒント 2

仮定から $P (d)$ は $S$ の倍数となる． $S$ が素数だと仮定し，積 $(a + d) (b + d) (c + d)$ を考える．

解答設問 1

共通の実数解を $t$ とする．二つの方程式に $x = t$ を代入し，差を取ると，

(a - b) (t - 1) = 0

を得る．

$a \neq b$ の場合 $t = 1$ でなければならない．これを元の方程式に代入すると， $1 + a + b = 0$ となる．逆に， $a + b = - 1$ ならば $x = 1$ は両方の方程式の実数解である．したがって，この場合の必要十分条件は $a + b = - 1$ である．

$a = b$ の場合 二つの方程式は同じ方程式 $x^{2} + a x + a = 0$ となる．これが実数解を持つための必要十分条件は，判別式が非負となること，すなわち，

a^{2} - 4 a = a (a - 4) \geq 0

である．よって， $a \leq 0$ または $a \geq 4$ となる．

以上をまとめると，求める必要十分条件は，

a + b = - 1

または，

a = b かつ (a \leq 0 または a \geq 4)

である．なお， $a = b = - 1 / 2$ のときも $x = 1$ が共通解となるので，最初の条件に $a \neq b$ を付ける必要はない．

解答設問 2

$a, b, c, d, e, f, g$ は，相異なる $7$ 以下の正の整数なので， $1, 2, \dots, 7$ を一度ずつ使ったものである．

A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g}, X = a b c d + e f g

とおき， $X$ が素数であると仮定する．4個の相異なる正の整数の積は $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ 以上なので， $X > 3$ である．

もし偶数 $2, 4, 6$ が $A, B$ の両方に分かれて入っていれば， $a b c d$ と $e f g$ はともに偶数となる．すると $X$ も偶数となり， $X > 2$ であることから素数ではなくなる．したがって， $2, 4, 6$ はすべて同じ集合に属する．

同様に， $3$ と $6$ が別々の集合に属していれば，二つの積はともに $3$ の倍数となる．このとき $X$ も $3$ の倍数となり， $X > 3$ だから素数ではない．よって， $3$ と $6$ も同じ集合に属する．

以上より， $2, 3, 4, 6$ はすべて同じ集合に属する． $B$ の要素は3個しかないので，

A = {2, 3, 4, 6}, B = {1, 5, 7}

に限られる．したがって，素数となる値の候補は，

X = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 + 1 \cdot 5 \cdot 7 = 144 + 35 = 179

だけである．

ここで， $\sqrt{179} < 14$ であり， $14$ 未満の素数は $2, 3, 5, 7, 11, 13$ である． $179$ は $2, 3, 5$ のいずれでも割り切れず，

179 = 7 \cdot 25 + 4 = 11 \cdot 16 + 3 = 13 \cdot 13 + 10

より， $7, 11, 13$ のいずれでも割り切れない．したがって $179$ は素数である．上の配置で実際に表せるので，求める素数は $179$ のみである．

解答設問 3

$d = gcd (m, n)$ とおく．11日目に示した結果より，

λ m + μ n = d

を満たす整数 $λ, μ$ が存在する．両辺に $\frac{1}{n} (\binom{n}{m})$ を掛けると，

\frac{d}{n} (\binom{n}{m}) = λ \frac{m}{n} (\binom{n}{m}) + μ (\binom{n}{m})

となる．ここで，二項係数の定義より，

\begin{aligned} \frac{m}{n} (\binom{n}{m}) & = \frac{m}{n} \frac{n!}{m! (n - m)!} \\ = \frac{(n - 1)!}{(m - 1)! (n - m)!} \\ = (\binom{n - 1}{m - 1}) \end{aligned}

である．したがって，

\frac{d}{n} (\binom{n}{m}) = λ (\binom{n - 1}{m - 1}) + μ (\binom{n}{m})

と表せる．右辺は整数の整数倍の和なので整数であり，題意が示された．

別解（互いに素な因子を消す）

$d = gcd (m, n)$ ， $m = d u$ ， $n = d v$ とおくと， $gcd (u, v) = 1$ である．二項係数の恒等式

m (\binom{n}{m}) = n (\binom{n - 1}{m - 1})

を $d$ で割れば， $v ∣ u (\binom{n}{m})$ を得る． $u, v$ は互いに素なので $v ∣ (\binom{n}{m})$ である．したがって

\frac{gcd (m, n)}{n} (\binom{n}{m}) = \frac{1}{v} (\binom{n}{m})

は整数である．

解答設問 4

多項式

P (x) = (x + a) (x + b) (x + c) - (x - d) (x - e) (x - f)

を考える．二つの積を展開すると，3次の項が打ち消し合い，

\begin{aligned} P (x) & = (a + b + c + d + e + f) x^{2} \\ + (a b + b c + c a - d e - e f - f d) x + (a b c + d e f) \\ = S x^{2} + (a b + b c + c a - d e - e f - f d) x + (a b c + d e f) \end{aligned}

となる．仮定より，この多項式のすべての係数は $S$ の倍数である．したがって，任意の整数 $x$ に対して $P (x)$ も $S$ の倍数となる．特に $x = d$ を代入すると，第二の積は $0$ となるので，

S ∣ P (d) = (a + d) (b + d) (c + d)

を得る．

ここで， $S$ が素数であると仮定する．素数が整数の積を割り切るならば，少なくとも一つの因子を割り切るので， $S$ は $a + d, b + d, c + d$ のいずれかを割り切る．しかし，すべての変数は正の整数だから，

0 < a + d < S, 0 < b + d < S, 0 < c + d < S

であり，これらのいずれも $S$ で割り切れない．これは矛盾する．よって $S$ は素数ではない．さらに $S \geq 6 > 1$ なので， $S$ は合成数である．

DISCUSSION

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