問題020｜整数・因数分解と約数

分母を $t=2n+1$ と置き，分子の8倍を $t$ の多項式で表せ．

$8(n^3+2n^2+3)=t^3+t^2-5t+27$ である．$t$ が奇数であることに注意して，整除条件を $t\mid 27$ に帰着させよ．

与式を $(x-n)(y-n)=n^2$ と変形し，$n^2$ の正の約数と順序付きの解を対応させよ．

$n=\prod q_i^{e_i}$ ならば $N(n)=\prod (2e_i+1)$ である．この積が $p^2$ になる場合は，因子が $p^2$ の1個だけの場合と，$p$ の2個の場合に限られる．

$a$ を特殊な4乗数の倍数として選び，$n^4+a$ を平方の差に変形することを考えよ．

$a=4m^4$ と置くと，$n^4+4m^4=(n^2+2m^2{)}^2-(2mn{)}^2$ となる．両因子が必ず1より大きくなるように $m$ を選べ．

商を正整数 $k$ と置き，$a^2-kba+b^2-k=0$ を $a$ の2次方程式と見る．一方の根が $a$ ならば，もう一方の根は何か．

平方数でない $k$ に対して $a+b$ が最小の解を選び，$a\ge b$ として $c=kb-a$ を考える．$ac=b^2-k$ を使い，$0<c<b$ を示せば，より小さい解が得られる．

$t=2n+1$ と置くと $t$ は0でない奇数であり，

となる．$gcd(t,8)=1$ なので，元の分数が整数であることは $t\mid 27$ と同値である．ここで，$t\mid 8(n^3+2n^2+3)$ から $t\mid n^3+2n^2+3$ が従うことも，互いに素であることによる．

したがって $t=\pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 27$ であり，$n=(t-1)/2$ より

を得る．これらはすべて上の同値条件を満たす．

与式を満たすとき $x>n,y>n$ であり，$(x-n)(y-n)=n^2$ となる．逆に，$n^2$ の正の約数 $d$ ごとに $(x,y)=(n+d,n+n^2/d)$ がただ1つ対応する．したがって $N(n)$ は $n^2$ の正の約数の個数である．

(1) $n=\prod _{i=1}^r{q}_i^{e_i}$ を素因数分解とすると，$\prod _{i=1}^r(2e_i+1)=p^2$ である．各因子は3以上なので，

に限られる．ここで $q,r$ は素数で，後者では $q\ne r$ とする．逆に，この2種類はいずれも $N(n)=p^2$ を満たす．

(2) $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ ならば $(p-1)/2$ も $(p^2-1)/2$ も偶数なので，いずれの形の $n$ も平方数である．$p=5$ では $n=q^{12}$ または $q^2{r}^2$ となる．それぞれの最小値は $2^{12}=4096$ と $2^2\cdot 3^2=36$ だから，求める最小値は $\boxed{{\displaystyle 36}}$ である．

任意の整数 $m\ge 2$ に対して $a=4m^4$ と置く．平方の差を用いると，

となる．第1因子は $(n-m{)}^2+m^2\ge m^2\ge 4$ であり，第2因子も1より大きい整数である．よって，どの正整数 $n$ に対しても $n^4+a$ は合成数である．$m=2,3,\dots$ に対する $a=4m^4$ は互いに異なるので，条件を満たす $a$ は無数に存在する．

平方数でない正整数 $k$ について $a^2+b^2=k(ab+1)$ を満たす正整数の組が存在すると仮定する．そのうち $a+b$ が最小のものを選び，対称性から $a\ge b$ としてよい．$c=kb-a$ と置くと，解と係数の関係より

が成り立つ．

まず $c<0$ ならば，整数であることから $a-kb=-c\ge 1$ である．元の式より $k=a(a-kb)+b^2\ge a+b^2>a$ となる．一方，$a=kb-c\ge k+1$ なので矛盾する．また，$c=0$ ならば $k=b^2$ となり，$k$ が平方数でないことに反する．したがって $c>0$ である．さらに

である．

よって $(b,c)$ も同じ $k$ に対する正整数解であり，$b+c<a+b$ となる．これは最小性に反する．したがって平方数でない商は存在せず，求める商は整数の平方である．