問題 03

問題002｜2次方程式

難易度 C 目安 60分

前半戦

次の方程式をみたす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ．

x^{2} + x y + y^{2} + 3 x + 6 y + 6 = 0

$a > 0$ ， $t$ を実数とする．方程式 $| x^{2} - a | + | x | = t$ の相異なる実数解は高々6個であることを示し，ちょうど6個となるための $(a, t)$ の必要十分条件を求めよ．

後半戦

次の連立方程式の実数解 $(x, y, z)$ の個数を求めよ．ただし，実際の値を求める必要はない．

{\begin{array}{ll} x + y + z = 3 x y, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x z, \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 y z . \end{array}

実数 $t$ に対し，次の条件を満たす実数の順序付き三つ組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ．

x + y + z = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6, x y z = t .

3次方程式の解の公式や微分法を用いずに論証せよ．

ヒント設問 1

ヒント 1

$y$ に関する2次方程式とみて，判別式が非負となる条件から整数 $x$ の候補を絞る．

ヒント 2

判別式は $12 - 3 x^{2}$ である．これが平方数となる $x$ を調べ，解の公式で得られる $y$ が整数か確認せよ．

ヒント設問 2

ヒント 1

$u = | x | \geq 0$ とおき， $0 \leq u \leq \sqrt{a}$ と $u \geq \sqrt{a}$ に分ける．前者の放物線の頂点が区間内部に入る条件を調べよ．

ヒント 2

6個の解を得るには，正の $u$ が3個必要である．前半の放物線に区間内部の交点が2個あるには，水平線が両端の高さより高く，頂点より低い必要がある．

ヒント設問 3

ヒント 1

いずれかの文字が0の場合を先に調べる．それ以外では $a = x / y, b = z / y$ とおき，2本の式から $y$ を消去する．

ヒント 2

$u = a + b, v = a b$ とおくと $1 + u^{2} = 5 v$ となる． $v$ を消去した方程式の実根を調べ，各 $u$ に対して実数の順序対 $(a, b)$ が何組あるか数えよ．

ヒント設問 4

ヒント 1

最初の二つの式から $x y + y z + z x$ を求め， $x, y, z$ を根にもつ3次多項式を作る．

ヒント 2

解の存在範囲は，一つの文字を固定したときの残り二つの実数条件から調べられる． $2 - (z^{3} - 3 z)$ と $2 + (z^{3} - 3 z)$ を因数分解せよ．

解答設問 1

$(x_{0}, y_{0})$ を方程式の整数解とする．

方程式を $y_{0}$ について整理すると，

y_{0}^{2} + (x_{0} + 6) y_{0} + (x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 6) = 0

となる．

これを $y_{0}$ に関する2次方程式とみると，解の公式より

\begin{aligned} y_{0} & = \frac{- (x_{0} + 6) \pm \sqrt{(x_{0} + 6)^{2} - 4 (x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 6)}}{2} \\ = \frac{- (x_{0} + 6) \pm \sqrt{12 - 3 x_{0}^{2}}}{2} . \end{aligned}

ここで $x_{0}, y_{0}$ はともに整数であるから，

\sqrt{12 - 3 x_{0}^{2}}

も整数でなければならない．特に $k^{2} \geq 0$ より

3 x_{0}^{2} \leq 12,

したがって

x_{0}^{2} \leq 4.

よって

x_{0} \in - 2, - 1, 0, 1, 2 .

それぞれについて $12 - 3 x_{0}^{2}$ を調べる．

$x_{0} = \pm 2$ のとき， $12 - 3 x_{0}^{2} = 0$ ．
$x_{0} = \pm 1$ のとき， $12 - 3 x_{0}^{2} = 9$ ．
$x_{0} = 0$ のとき， $12 - 3 x_{0}^{2} = 12$ となり平方数ではないので，整数解は存在しない．

そこで $x_{0} = \pm 1, \pm 2$ を上の式に代入すると，

(x_{0}, y_{0}) = (- 2, - 2), (- 1, - 4), (- 1, - 1), (1, - 5), (1, - 2), (2, - 4) .

別解（平方完成と3で割った余り）

元の式を4倍して平方完成すると

(2 y + x + 6)^{2} + 3 x^{2} = 12.

整数の平方が3の倍数なら，その整数自身も3の倍数である．よって $2 y + x + 6 = 3 k$ とおけて， $x^{2} + 3 k^{2} = 4$ を得る．したがって $k = 0, \pm 1$ に限られ， $k = 0$ なら $x = \pm 2$ ， $k = \pm 1$ なら $x = \pm 1$ である．これらを $y = (3 k - x - 6) / 2$ に代入すると，すべて整数になり，

(x, y) = (- 2, - 2), (- 1, - 4), (- 1, - 1), (1, - 5), (1, - 2), (2, - 4)

を得る．変形は同値なので，これで漏れなく求められた．

解答設問 2

$u = | x | \geq 0$ とおく．左辺を $g (u)$ とすると，

g (u) = {\begin{array}{ll} a - u^{2} + u = a + \frac{1}{4} - (u - \frac{1}{2})^{2} & (0 \leq u \leq \sqrt{a}), \\ u^{2} + u - a & (u \geq \sqrt{a}) . \end{array}

前者は2次式なので水平線との交点は高々2個，後者は $u \geq \sqrt{a}$ で狭義増加なので高々1個である．したがって $u$ は高々3個で，各正の $u$ が二つの $x$ に対応するから，実数解は高々6個である．なお $u = 0$ は $x = 0$ 一つにしか対応しない．

6個となるには，前者のグラフが $0 < u < \sqrt{a}$ に2個の交点をもち，後者が $u > \sqrt{a}$ に1個の交点をもつことが必要十分である．前者の頂点 $u = \frac{1}{2}$ が区間内部に入る条件は $a > \frac{1}{4}$ である．この条件の下で，両側の枝に内部の交点が一つずつあるための条件は，両端の値 $g (0) = a, g (\sqrt{a}) = \sqrt{a}$ と頂点の値を比べて

max {a, \sqrt{a}} < t < a + \frac{1}{4}

となる．このとき後者にも $u > \sqrt{a}$ の交点がちょうど一つあり，3個の $u$ はすべて正で異なる．逆に6個の実根があれば， $u = 0$ は現れず，接続点 $u = \sqrt{a}$ を共有してもいけないから，上の内部交点条件が必要となる．よって答えは

a > \frac{1}{4}, max {a, \sqrt{a}} < t < a + \frac{1}{4}

である．等号を含めると端点の重複，零根，または頂点での接触が起こり，6個にはならない．図は $a = 1$ の例で， $1 < t < \frac{5}{4}$ の水平線に対して正の $u$ が3個現れる．

a=1の例．uが0以上での絶対値式のグラフ．0と1で値1，u=1/2で極大値5/4，1以降は増加する．

解答設問 3

まず，

(x, y, z) = (0, 0, 0)

は明らかに解である．また， $x, y, z$ のうち少なくとも1つが $0$ であるとする．このとき，与えられた連立方程式から残りの2つも $0$ となることがわかる．したがって， $(0, 0, 0)$ 以外の解については

x y z \neq 0

としてよい．そこで，

a = \frac{x}{y}, b = \frac{z}{y}

とおく．これを与えられた3式に代入し， $y \neq 0$ を用いて整理すると，

{\begin{array}{ll} a + 1 + b = 3 a y, \\ a^{2} + 1 + b^{2} = 3 a b, \\ y (a^{3} + 1 + b^{3}) = 3 b \end{array}

を得る．第1式の $y$ を第3式に代入すると，

(1 + a + b) (1 + a^{3} + b^{3}) = 9 a b

したがって， $a, b$ は

{\begin{array}{ll} 1 + a^{2} + b^{2} = 3 a b, \\ (1 + a + b) (1 + a^{3} + b^{3}) = 9 a b \end{array}

ここで対称式を処理するために，次のようにおく．

u = a + b, v = a b

すると，

{\begin{array}{ll} 1 + u^{2} - 2 v = 3 v, \\ (1 + u) (1 + u^{3} - 3 u v) = 9 v \end{array}

と整理することができる．さらに $v$ を解いて整理すると，

\begin{aligned} u^{4} + u^{3} - 6 u^{2} + u - 2 & = 0 \\ (u - 2) (u^{3} + 3 u^{2} + 1) & = 0. \end{aligned}

したがって，

u = 2

または

\begin{matrix} (5) & u^{3} + 3 u^{2} + 1 = 0 \end{matrix}

である．

まず， $u = 2$ の場合を考える．このとき，

v = \frac{2^{2} + 1}{5} = 1.

したがって， $a, b$ は

t^{2} - 2 t + 1 = 0

の根であるから，

a = b = 1.

さらに，

a + 1 + b = 3 a y

に代入すると $y = 1$ となるので，

x = a y = 1, z = b y = 1.

よって，

(x, y, z) = (1, 1, 1)

という1個の解を得る．次に， $(5)$ を考える．

f (u) = u^{3} + 3 u^{2} + 1

とおくと，

f^{'} (u) = 3 u (u + 2) .

したがって， $f$ は $u = - 2$ で極大値， $u = 0$ で極小値をとる．実際，

f (- 2) = 5, f (0) = 1

であり，いずれも正である．一方，

lim_{u \to - \infty} f (u) = - \infty

であるから，方程式

f (u) = 0

は区間 $(- \infty, - 2)$ にただ1つの実根をもつ．この実根を $u_{0}$ とする．すると，

u_{0} < - 2.

また，

v = \frac{u_{0}^{2} + 1}{5}

である． $a, b$ は和が $u_{0}$ ，積が $v$ であるから，2次方程式

t^{2} - u_{0} t + \frac{u_{0}^{2} + 1}{5} = 0

の2根である．この方程式の判別式は，

\begin{aligned} Δ & = u_{0}^{2} - 4 \cdot \frac{u_{0}^{2} + 1}{5} \\ = \frac{u_{0}^{2} - 4}{5} . \end{aligned}

ここで $u_{0} < - 2$ より $u_{0}^{2} > 4$ だから，

Δ > 0.

したがって，この2次方程式は相異なる2つの実根をもつ．それらを $α, β$ とすると，

(a, b) = (α, β), (β, α)

の2通りが得られる．各 $(a, b)$ に対して，

y = \frac{1 + u_{0}}{3 a}

によって $y$ が一意に定まり，さらに

x = a y, z = b y

によって $(x, y, z)$ も一意に定まる．よって，得られる実数解は2個である．以上より，

$(0, 0, 0)$ から1個
$u = 2$ から1個
$u^{3} + 3 u^{2} + 1 = 0$ から2個

の実数解が得られる．したがって，与えられた連立方程式の実数解の個数は4である．

解答設問 4

最初の二つの式より $x y + y z + z x = - 3$ なので， $x, y, z$ を根にもつモニックな3次式は $F (X) = X^{3} - 3 X - t$ である．また $x + y = - z, x y = z^{2} - 3$ なので， $x, y$ が実数であるためには判別式 $12 - 3 z^{2} \geq 0$ ，すなわち $- 2 \leq z \leq 2$ が必要である．このとき $t = z^{3} - 3 z$ に対し

2 - t = (2 - z) (z + 1)^{2} \geq 0, 2 + t = (z + 2) (z - 1)^{2} \geq 0

となり， $| t | \leq 2$ が必要である．

$- 2 < t < 2$ なら $F (- 2) < 0, F (- 1) > 0, F (1) < 0, F (2) > 0$ である．多項式の連続性から $(- 2, - 1), (- 1, 1), (1, 2)$ にそれぞれ根がある．3次式なので，これらが相異なる3個の根のすべてである．根と係数の関係から，その3根を並べた三つ組は元の条件を満たし，順序の付け方は6通りである． $t = 2$ では $F (X) = (X - 2) (X + 1)^{2}$ より $(2, - 1, - 1)$ の並べ替え3通り， $t = - 2$ でも $(- 2, 1, 1)$ の並べ替え3通りとなる．したがって個数は $| t | > 2$ で0， $| t | = 2$ で3， $| t | < 2$ で6である．

DISCUSSION

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名前未設定 2026/9/2 1:13

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前半できた。降べきにしてからxを共通因数にして、ax^2+bx+cの形に持ってこれたのは嬉しい。途中式ミスりすぎてしまったけど⋯

名前未設定 2026/9/1 6:54

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$x$ の2次方程式 $x^2+(y+3)x+(y^2+6y+6)=0$ が実数解を持つ必要があるので、 $(y+3)^2-4(y^2+6y+6)\geqq 0 \quad\quad\therefore -5\leqq y\leqq -1$ あとは、$y=-5, -4, \ldots , -1$ を代入して対応する $x$ を求める。

名前未設定 2026/9/1 6:45

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投稿の編集機能が欲しいです！投稿は画面右側に出てると見やすいかも？？