問題004｜不等式

まず三角不等式 $|a+b|\le |a|+|b|$ を使える形を作る．非負の $t$ に対して $t/(1+t)$ は増加する．

左辺の二つの分母をそれぞれ $1+|a|+|b|$ に大きくして下から評価し，三角不等式につなげよ．

分母の平方に合わせ，$\sqrt{2x}$ と $2\sqrt{y}/\sqrt{3}$ を成分とするベクトルを考える．

もう一方のベクトルを $(1/2,\sqrt{3}/2)$ とすると，内積は分子の $1/\sqrt{2}$ 倍になる．コーシー・シュワルツの不等式を用いよ．

条件を $(\sqrt{2}x{)}^2+(\sqrt{3}y{)}^2+(2z{)}^2=1$ と書き，求める式を内積で表す．

相手のベクトルは $(5/\sqrt{2},-6/\sqrt{3},7/2)$ である．コーシー・シュワルツの不等式で上から評価し，二つのベクトルが同じ向きになる場合を確かめよ．

$a+b+c=1$ を使って，$a+bc$ を $b,c$ の式として因数分解する．

$a+bc=(1-b)(1-c)$ である．各平方根を相加相乗平均の不等式で評価し，3本を足し合わせよ．

$a\ge 0$ なら $y$ を含む項はすべて非負である．$a<0$ の場合は，$x,z$ を固定して $y\ge 0$ の範囲で最小にせよ．

$a<0$ なら $y=-a(x+z)$ が許される．残る2変数式に $z=0$ と $x=z$ を代入すると必要条件が得られる．その条件が平方の和による表示にもつながる．

次の不等式を示せば十分．

両辺の分母を払って，共通項を消すと次の不等式に帰着する．

これは三角不等式である．

コーシーシュワルツの不等式により，

この式の両辺の平方根を取り，さらに式変形すれば，求める不等式となる．

コーシーシュワルツの不等式により，

となるが，両辺の平方根をとると，左辺は$\frac{7}{2}\sqrt{3}$となり，これが求める最大値とわかる．実際，$(\sqrt{2}x,\sqrt{3}y,2z)$ を $(5/\sqrt{2},-6/\sqrt{3},7/2)$ と同じ向きの単位ベクトルにとれば，条件を満たし等号が成り立つ．

条件と相加相乗平均の不等式から，

等号成立条件は

左辺を $Q$ とする．まず $a\ge 0$ のとき，$y^2+2ay(x+z)\ge 0$ なので，$Q\ge 0$ がすべての非負変数について成り立つことは $x^2+z^2+2bxz\ge 0$ と同値である．$x=z=1$ とすれば $b\ge -1$ が必要であり，逆に $b\ge -1$ なら $(x-z{)}^2+2(b+1)xz\ge 0$ より十分でもある．

次に $a<0$ のとき，$x,z$ を固定すれば，$y=-a(x+z)\ge 0$ で $Q$ は最小になる．この最小値は

である．$z=0,x=1$ として $1-a^2\ge 0$，さらに $x=z=1$ として $b+1-2a^2\ge 0$ が必要となる．逆にこの二条件があれば右辺は非負となるので十分である．よって求める全範囲は

である．$a<-1$ の場合に許される $b$ はない．

$-1<a<0$ では最小の $b$ は $2a^2-1$ であり，このとき

となる．$1-a^2>0$ だから，等号は $x=z,y=-2ax$ のとき，すなわち $(x,y,z)=(s,-2as,s)$，ただし $s\ge 0$ のときに限る．