問題035｜微分法と補助関数

微分するときは $y$ を $x$ の関数として扱う．最大値は $s=x+y,p=xy$ と置いて調べてもよい．

曲線の式は $s^3=3p(s+1)$ となり，$p\le s^2/4$ を利用できる．

$\log f(x)=x\log x$ を微分する．

$f^{″}(x)>0$ から $f^{\prime }(x)$ は増加する．$f(x)-x$ の導関数を $x=1$ の前後で調べる．

3点 $a,x,b$ で0になる補助関数を作る．

$f(t)$ から両端を結ぶ1次式と，定数倍の $(t-a)(t-b)$ を引く．

まず長さ $1/2$ の区間で，片方の端点の値が0なら全体で0となることを示す．

その区間での $|g|$ の最大値を $M$ とし，平均値の定理から $M\le M/2$ を導く．

陰関数の微分により

点 $(3/2,3/2)$ では $y^{\prime }=-1$ なので，接線は $\boxed{{\displaystyle x+y=3}}$ である．$s=x+y>0,p=xy$ と置くと $s^3=3p(s+1)\le 3s^2(s+1)/4$ であり，$s\le 3$ を得る．等号は $x=y=3/2$ で実現するので，最大値は $\boxed{{\displaystyle 3}}$ である．微分の式をさらに微分して，

指定点では $3+2+3+(3/4)y^{″}=0$ だから $\boxed{{\displaystyle y^{″}=-32/3}}$ となる．

対数微分により $f^{\prime }(x)=x^x(\log x+1)$ である．したがって $f$ は $0<x<e^{-1}$ で減少し，$x>e^{-1}$ で増加する．最小値は $\boxed{{\displaystyle e^{-1/e}}}$ である．さらに

よって $f^{\prime }$ は狭義単調増加であり，$f^{\prime }(1)=1$ である．$g(x)=f(x)-x$ と置けば，$g^{\prime }$ は $x<1$ で負，$x>1$ で正である．したがって $g(x)\ge g(1)=0$ で，等号は $\boxed{{\displaystyle x=1}}$ のときに限る．

左辺を $\lambda$ と置き，

と定める．$\lambda$ の定義から $h(a)=h(x)=h(b)=0$ である．ロルの定理を $[a,x]$ と $[x,b]$ に用いると，$a<\alpha <x<\beta <b$ で $h^{\prime }(\alpha )=h^{\prime }(\beta )=0$ となる $\alpha ,\beta$ がある．$h$ は2回微分可能なので $h^{\prime }$ は $[\alpha ,\beta ]$ で連続であり，再びロルの定理を適用できる．よって，ある $\xi \in (\alpha ,\beta )$ で

となる．これが求める等式である．

区間 $[a,a+1/2]$ の左端で $g(a)=0$ とし，この区間における $|g|$ の最大値を $M$ とする．任意の $x$ に対して平均値の定理から

である．ここで中間点 $c$ について $|g^{\prime }(c)|\le |g(c)|\le M$ を用いた．最大値を取る点でも同じ不等式が成り立つので $M\le M/2$，したがって $M=0$ である．$a=0,1/2,1,\dots$ と順に適用すれば $x\ge 0$ 全体で $g(x)=0$ となる．$h(x)=g(-x)$ も同じ仮定を満たすので，$x\le 0$ でも同様に0である．

別解（二乗して指数因子を掛ける）

$h(x)=g(x{)}^2$ とおくと $h\ge 0,h(0)=0$ であり，仮定から

を得る．したがって $(e^{-2x}h(x){)}^{\prime }=e^{-2x}(h^{\prime }-2h)\le 0$ だから，$x\ge 0$ で $0\le e^{-2x}h(x)\le h(0)=0$ となる．一方，$(e^{2x}h(x){)}^{\prime }=e^{2x}(h^{\prime }+2h)\ge 0$ なので，$x\le 0$ でも $0\le e^{2x}h(x)\le h(0)=0$ である．よって全実数で $h(x)=0$，すなわち $g(x)=0$ となる．絶対値の微分を避けて二乗し，指数因子で単調性を作ると，区間を繰り返し広げずに示せる．