問題036｜接線・法線と実数解

$a>0$ の場合，$x=0$ を除いて $e^x/x^2=a$ と書く．負の範囲と正の範囲を分ける．

${\displaystyle {\left(\frac{e^x}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{e^x(x-2)}{x^3}}$．無限遠と $x=0$ の片側極限も必要になる．

接点を $(t,\log t)$ と置き，法線が $(a,0)$ を通る条件を求める．

その条件は $a=t+(\log t)/t$ になる．右辺の導関数が正であることを示す．

共通接線の傾きを $m>0$ として，各曲線での切片を比較する．

$(m-1)\log m=m+1$ が得られる．$m>1$ と $0<m<1$ は $m\mapsto 1/m$ で対応する．

指定された点と曲線上の点との距離を考える．

距離の2乗は，曲線がどのような形でも $|x|\to \mathrm{\infty }$ で無限大になる．最小値を取る点で微分する．

$a\le 0$ なら右辺は非正なので解はない．$a>0$ とし，$F(x)=e^x/x^2$ と置く．$x<0$ では $F^{\prime }>0$ で，$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0$，$\underset{x\to 0-}{lim}F(x)=\mathrm{\infty }$ だから解はちょうど1個ある．$x>0$ では $F$ は $(0,2)$ で減少，$(2,\mathrm{\infty })$ で増加し，両端では無限大に近づく．最小値は $F(2)=e^2/4$ である．よって全体の解の個数は，

接点の $x$ 座標を $t>0$ とすると，接線の傾きは $1/t$，法線の傾きは $-t$ である．法線が $(a,0)$ を通る条件は

$\log t\le t-1$ は $(t-1-\log t{)}^{\prime }=1-1/t$ の符号から従う．これを用いて

また $t\to 0+$ で $H(t)\to -\mathrm{\infty }$，$t\to \mathrm{\infty }$ で $H(t)\to \mathrm{\infty }$ である．連続性と狭義単調性により $H(t)=a$ の解はただ1つである．異なる $t$ は異なる傾きの法線を与えるので，法線もただ1本となる．

傾き $m>0$ の接線は，$y=e^x$ では接点 $x=\log m$ における

$y=\log x$ では接点 $x=1/m$ における $y=mx-\log m-1$ である．したがって共通接線の条件は

$m=1$ は不適である．$m>1$ では

しかも $Q(1+)=-\mathrm{\infty },Q(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$ だから，解 $\alpha >1$ がただ1つ存在する．元の条件は $m$ を $1/m$ に替えても同値なので，$0<m<1$ では解は $1/\alpha$ のみである．よって共通接線は $\boxed{{\displaystyle 2\text{本}}}$ であり，

となる．

存在する．指定された点を $P=(p,q)$ とし，

と置く．$D$ は連続で $D(t)\ge (t-p{)}^2$ だから，$|t|\to \mathrm{\infty }$ で $D(t)\to \mathrm{\infty }$ となる．十分大きい $R>|p|$ を選べば $|t|\ge R$ で $D(t)>D(p)$ となる．閉区間 $[-R,R]$ 上での最小値は内部のある $\alpha$ で達成され，それは実数全体での最小値でもある．よって

これは接線方向 $(1,f^{\prime }(\alpha ))$ とベクトル $P-(\alpha ,f(\alpha ))$ の内積が0であることを意味する．$P$ が接点と異なれば，この2点を結ぶ直線が法線である．$P$ が接点そのものである場合も，その点での法線が $P$ を通る．