問題037｜最適な定数と微分不等式

対数微分を使えば $f_a^{\prime }$ の符号が簡単になる．

最大値を取る $x$ は $a/(2-a)$ である．得られた $M(a)$ にも対数微分を使う．

$F(t)=e^t-t^2/2$ の2階導関数を調べる．

$m=(x+y+z)/3$ における接線より $F(t)\ge F(m)+F^{\prime }(m)(t-m)$ となる．最良性は $(x,y,z)=(t,0,0)$ で調べる．

積分の上端を1から変数 $t$ に替え，左右の差を微分する．

先に ${\displaystyle 2{\int }_0^{t}f(x)dx-f(t{)}^2\ge 0}$ を示すとよい．

$e^{-x}f(x)$ を微分すると $f^{\prime }-f$ が現れる．下からの評価だけでなく，そこへ近づく関数の構成が必要である．

$\varphi (t)=3t^2-2t^3$ を用い，$e^{-x}f(x)$ を短い区間 $[0,\epsilon ]$ で0から $e^{-1}$ へ滑らかに増加させる．

${\displaystyle f_a^{\prime }/f_a=a/x-2/(1+x)=\{a-(2-a)x\}/\{x(1+x)\}}$ である．したがって $x=a/(2-a)$ の前で増加，後で減少し，

となる．$(\log M{)}^{\prime }=\log a-\log (2-a)$ なので $M$ は $0<a<1$ で減少，$1<a<2$ で増加する．よって最小値は $a=1$ における $\boxed{{\displaystyle 1/4}}$ である．

別解（最大値を一点で下から押さえる）

$M(a)$ の最小値だけなら，その式を $a$ で微分する必要はない．どの $0<a<2$ についても

一方，$a=1$ なら $(1+x{)}^2\ge 4x$ より $f_1(x)\le 1/4$ で，$x=1$ において等号が成り立つ．したがって $minM(a)=1/4$ である．さらに $M(a)=1/4$ なら $x=1$ が最大点なので $f_a^{\prime }(1)=0$ が必要であり，$f_a^{\prime }(1)=(a-1)/4$ より $a=1$ に限る．最大値の最小化では，すべてのパラメータに共通する一点での値を先に調べると，下限がすぐに決まることがある．

$t\ge 0$ で $F^{″}(t)=e^t-1\ge 0$ なので，$F^{\prime }$ は単調増加である．$F(t)-F(m)-F^{\prime }(m)(t-m)$ の導関数の符号を調べれば，これは $t=m$ で最小値0を取る．これを $t=x,y,z$ について足して，

よって $C=1/6$ は条件を満たす．一方 $(x,y,z)=(t,0,0)$，$t>0$ とすると，

最後の極限は $e^u=1+u+u^2/2+o(u^2)$ から従う．この展開は $(e^u-1-u)/u^2={\int }_0^1(1-s)e^{su}ds\to 1/2$ でも確認できる．したがって最大値は $\boxed{{\displaystyle 1/6}}$ である．

$f(0)=0,f^{\prime }>0$ より $t>0$ で $f(t)>0$ である．

と置くと $G(0)=0$，$G^{\prime }(t)=2f(t)(1-f^{\prime }(t))\ge 0$ だから $G(t)\ge 0$ である．さらに

とすれば $H(0)=0$，$H^{\prime }(t)=f(t)G(t)\ge 0$ である．よって $H(1)\ge 0$ が求める不等式となる．$f(x)=x$ なら両辺はともに $1/4$ となり，等号が成り立つ．実際，等号なら連続な非負関数 $fG$ の積分が0なので $t>0$ で $G(t)=0$，したがって $G^{\prime }=2f(1-f^{\prime })=0$ より $f^{\prime }=1$，すなわちこの例が唯一である．

$(e^{-x}f(x){)}^{\prime }=e^{-x}(f^{\prime }-f)$ より

したがって $u=e^{-1}$ は条件を満たす．最良性を示すため，$0<\epsilon <1$，$\varphi (t)=3t^2-2t^3$ とし，

と置く．$\varphi (0)=0,\varphi (1)=1,{\varphi }^{\prime }(0)={\varphi }^{\prime }(1)=0$，かつ ${\varphi }^{\prime }\ge 0$ なので $f_{\epsilon }$ は条件を満たす連続微分可能関数である．$g_{\epsilon }^{\prime }\ge 0$ であり，その台は $[0,\epsilon ]$ に含まれるから，

$\epsilon \to 0+$ とすれば $e^{-1}$ より大きな下界は不可能である．よって $\boxed{{\displaystyle u=1/e}}$ である．

補足（補助関数 $\varphi$ の発想と作り方）

まず $g(x)=e^{-x}f(x)$ と置くと，$g(0)=0,g(1)=e^{-1}$ であり，

となる．右辺は $g$ の変化量に重み $e^x$ をかけて足したものと考えられる．増減を繰り返すと絶対値によって余分な変化量が加わるので，まず単調に増加する $g$ を考える．そのうえで，重みが最も小さい $x=0$ の近くで $0$ から $e^{-1}$ まで増やし切り，あとは一定にすれば，下界 $e^{-1}$ に近づけられそうである．これが短い区間 $[0,\epsilon ]$ に変化を集中させる理由である．

そこで，区間 $[0,1]$ で $0$ から $1$ へ増加する関数 $\varphi$ を作り，$e^{-1}\varphi (x/\epsilon )$ によって横幅を $\epsilon$，高さを $e^{-1}$ に調整する．必要なのは $\varphi (0)=0,\varphi (1)=1,{\varphi }^{\prime }\ge 0$ であり，さらに $x=\epsilon$ で定数部分へ導関数まで連続につなぐために ${\varphi }^{\prime }(1)=0$ としたい．ここでは始点も水平になるように ${\varphi }^{\prime }(0)=0$ を加える．

両端で $0$，途中で非負となる導関数の簡単な候補は ${\varphi }^{\prime }(t)=Ct(1-t)$（$C>0$）である．これを積分し，$\varphi (0)=0$ を使うと，

さらに $\varphi (1)=1$ より $C/6=1$，すなわち $C=6$ となるので，$\varphi (t)=3t^2-2t^3$ が得られる．この式を突然思いつく必要はなく，「原点付近で増やし切る」「定数部分へ滑らかにつなぐ」という目的から，導関数の形を決めて逆算すればよい．

なお，この問題では ${\varphi }^{\prime }(0)=0$ は必須ではない．終点で滑らかに止まればよいので，$\varphi (t)=2t-t^2$ でも $\varphi (0)=0,\varphi (1)=1,{\varphi }^{\prime }(1)=0,{\varphi }^{\prime }\ge 0$ を満たし，同じ構成と評価が使える．