問題 38

問題038｜置換積分と対称性

難易度 C 目安 60分

前半戦

次の定積分を求めよ．

\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} + x^{2} + 1} d x .

次の定積分を求めよ．

\int_{0}^{π / 2} \frac{x \sin 2 x}{1 + \sin 2 x} d x .

後半戦

次の定積分を求めよ．

\int_{0}^{1} \frac{\log (1 + x)}{1 + x^{2}} d x .

Putnam 2005 A5

実数 $a > - 2$ に対して，次の広義積分が収束することを示し，その値を求めよ．広義積分は上端を $R$ として積分した値の $R \to \infty$ における極限を意味する．

I (a) = \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x^{4} + a x^{2} + 1} .

ヒント設問 1

ヒント 1

$u = x^{2}$ と置き，分母の微分を分子に作る．

ヒント 2

$u = {(2 u + 1) - 1} / 2$ と分ける．残る2次式の逆数は平方完成して積分する．

ヒント設問 2

ヒント 1

$x$ を $π / 2 - x$ に置き換えると， $x$ 以外の部分は変わらない．

ヒント 2

2つの積分表示を足した後， $\sin 2 x / (1 + \sin 2 x) = 1 - 1 / (1 + \sin 2 x)$ と分ける．

ヒント設問 3

ヒント 1

$\log (1 + x)$ を $\log 2 - \log (1 + t)$ に変える置換を探す．

ヒント 2

$x = (1 - t) / (1 + t)$ と置くと， $d x / (1 + x^{2}) = - d t / (1 + t^{2})$ となる．

ヒント設問 4

ヒント 1

$x = 1 / t$ という置換をすると，分子が $t^{2}$ の積分になる．

ヒント 2

2つの積分表示を足し，分子と分母を $x^{2}$ で割る．その後 $u = x - 1 / x$ と置く．

解答設問 1

$u = x^{2}$ と置けば

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u}{u^{2} + u + 1} d u = \frac{1}{4} \log 3 - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{d u}{u^{2} + u + 1} .

最後の積分で $u + 1 / 2 = (\sqrt{3} / 2) \tan θ$ と置く．積分区間は $π / 6 \leq θ \leq π / 3$ となり，

\int_{0}^{1} \frac{d u}{u^{2} + u + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{π / 6}^{π / 3} d θ = \frac{π}{3 \sqrt{3}} .

したがって $I = \frac{1}{4} \log 3 - \frac{π}{12 \sqrt{3}}$ である．

解答設問 2

積分を $I$ と置く． $x = π / 2 - t$ による置換から

2 I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin 2 x}{1 + \sin 2 x} d x .

ここで

\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \sin 2 x} = \int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{(\sin x + \cos x)^{2}} = \frac{1}{2} [\tan (x - π / 4)]_{0}^{π / 2} = 1.

したがって $2 I = (π / 2) (π / 2 - 1)$ であり，

I = \frac{π^{2}}{8} - \frac{π}{4}

となる．

解答設問 3

積分を $I$ とし， $x = (1 - t) / (1 + t)$ と置くと，

I = \int_{0}^{1} \frac{\log 2 - \log (1 + t)}{1 + t^{2}} d t = \log 2 \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}} - I .

したがって $2 I = (π / 4) \log 2$ であり，

I = \frac{π \log 2}{8}

となる．

解答設問 4

分母は $(x^{2} - 1)^{2} + (a + 2) x^{2} > 0$ であり，十分大きい $x$ では被積分関数は $2 / x^{4}$ 以下なので，積分は収束する． $x = 1 / t$ と置換すれば

I (a) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{x^{4} + a x^{2} + 1} d x .

両式を足し， $u = x - 1 / x$ ， $d u = (1 + 1 / x^{2}) d x$ と置く． $x$ が0から無限大まで増えると $u$ は実数全体を狭義単調に動くので，

2 I (a) = \int_{0}^{\infty} \frac{1 + 1 / x^{2}}{(x - 1 / x)^{2} + a + 2} d x = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d u}{u^{2} + a + 2} .

$u = \sqrt{a + 2} \tan θ$ とすれば右辺は $π / \sqrt{a + 2}$ である．よって

I (a) = \frac{π}{2 \sqrt{a + 2}} .

DISCUSSION

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