問題039｜積分の漸化式と級数

下端を $\epsilon >0$ として部分積分する．$x^3(-\log x{)}^n\to 0$ を確認する．

$J_n=(n/3)J_{n-1}$ が得られる．最後の積分は二項展開して求める．

${\sin }^{n}x={\sin }^{n-1}x\sin x$ と見て部分積分する．

漸化式から $n{I}_n{I}_{n-1}$ が一定になる．また $I_{n+1}\le I_n\le I_{n-1}$ を使う．

$1/(3n+1)={\int }_0^1{x}^{3n}dx$ と表す．まず有限個の和で計算する．

有限等比和の残りを積分して0に近づくことを示し，${\int }_0^{1}dx/(1+x^3)$ を計算する．

$x^x=e^{-u}$，$u=-x\log x$ と置く．この $u$ は区間全体で一定値以下になる．

部分積分を繰り返して ${\int }_0^1{x}^k(-\log x{)}^{k}dx=k!/(k+1{)}^{k+1}$ を求める．

$x=e^{-t}$ とすると $x^3(-\log x{)}^n=e^{-3t}{t}^n\to 0$ である．また積分は ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-3t}{t}^{n}dt$ となり，指数関数が多項式より速く増加することから収束する．$J_0=1/3$ であり，$n\ge 1$ に対して部分積分すると

よって $\boxed{{\displaystyle J_n=n!/3^{n+1}}}$ である．したがって最後の積分は

$n\ge 2$ では部分積分から

となるので，指定の漸化式を得る．よって

一方 $0\le \sin x\le 1$ だから $I_{n+1}\le I_n\le I_{n-1}$ である．$I_{n+1}=n{I}_{n-1}/(n+1)$ と合わせると，

したがってこの比は1に近づき，$n{I}_n^2=(\pi /2)/(I_{n-1}/I_n)\to \pi /2$ となる．答えは $\boxed{{\displaystyle \sqrt{\pi /2}}}$ である．

有限等比和を用いると，

残りの項の積分の絶対値は $1/(3N+1)$ 以下なので，求める和は ${\int }_0^{1}dx/(1+x^3)$ に等しい．部分分数分解により

$2-x=-\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{3}{2}$ と分ければ，

最後の積分は $x-1/2=(\sqrt{3}/2)\tan \theta$ により $2\pi /(3\sqrt{3})$ となる．よって答えは

$u=-x\log x$ は $0<x\le 1$ で $0\le u\le 1/e<1$ を満たし，$x\to 0+$ で0に近づく．与えられた評価を積分すると，

固定した $k$ に対して $L_j={\int }_0^1{x}^k(-\log x{)}^{j}dx$ と置くと，部分積分から $L_0=1/(k+1)$，$L_j=j{L}_{j-1}/(k+1)$ である．下端の境界項が0になるのは $x^{k+1}(-\log x{)}^j\to 0$ による．したがって $L_k=k!/(k+1{)}^{k+1}$ である．上の誤差が0に近づくことから

を得る．有限和と一様な誤差評価を用いたので，無限和と積分の交換を別に仮定する必要はない．