直線の集まりから曲線が現れる

東大の問題から学ぶ包絡線（1997年・文科第4問）

著者：柚木芹香

問題：1997年東京大学前期・文科第4問

問題

オリジナル

$0 \leq t \leq 1$ をみたす実数 $t$ に対して、 $x y$ 平面上の点 $A, B$ を

A (\frac{2 (t^{2} + t + 1)}{3 (t + 1)}, - 2), B (\frac{2}{3} t, - 2 t)

と定める。 $t$ が $0 \leq t \leq 1$ を動くとき、直線 $A B$ の通りうる範囲を図示せよ。

解説を読む前に、ぜひ手を動かして解いてみてほしい。詰まったら、あるいは解けたら、ここに戻ってこよう！

まず、動く直線を一本の式にする

まずは直線 $A B$ の式を求めよう。そうしなければ何も始まらない。二点の $x$ 座標の差は

\frac{2 (t^{2} + t + 1)}{3 (t + 1)} - \frac{2 t}{3} = \frac{2}{3 (t + 1)}

なので、傾きは

\frac{- 2 - (- 2 t)}{2 / [3 (t + 1)]} = 3 (t^{2} - 1) .

傾きがわかったので、点Bを通る直線の式を書き、整理します。

\begin{aligned} y + 2 t & = 3 (t^{2} - 1) (x - \frac{2 t}{3}) \\ y & = 3 (t^{2} - 1) x - 2 t^{3} (0 \leq t \leq 1) \end{aligned}

ここまでの計算が難しかった方は、いったん直線の式について復習してから戻ってきてほしい。ここからは、この式が求められたところから話を進めよう。

さて、ここからが問題です。

f (t) = y - 3 (t^{2} - 1) x + 2 t^{3} = 0

……受験生の皆さんの脳内をシミュレーションしてみたつもりですが、違いましたかね……？ 😓

実は、この直線は「接線」だった

さて、ここで一つ、不思議な方法をご紹介させてください。曲線の見つけ方はあとで説明します。今はペンを取り出して、写経する気分でついてきてください。

曲線 $y = x^{3} - 3 x$ 上の、 $x = t$ に対応する点は $(t, t^{3} - 3 t)$ 。そこでの接線の傾きは、微分係数から $3 t^{2} - 3$ だから、接線の式は

\begin{aligned} y - (t^{3} - 3 t) & = (3 t^{2} - 3) (x - t) \\ y & = 3 (t^{2} - 1) x - 2 t^{3} \end{aligned}

これは、まさに直線 $A B$ の式である。つまり、曲線 $y = x^{3} - 3 x$ の $x = t$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）における接線が、直線 $A B$ だったのだ。図にすると、次のようになる。

［図：直線ABは、三次曲線の接線］

tを0から1まで動かすと、接点Pは三次曲線y=x³−3x上の(0,0)から(1,−2)まで動きます。直線ABは、その点での接線に一致します。 tを動かすと過去の直線が薄い橙色で残り、通った範囲が見えてきます。「残像を消す」で消去できます。

実際にスライダーを動かしてみてください。接線の通った跡が重なると、求める領域の形が見えてきます。接点をこの区間で動かしたときの接線の通過範囲を、境界も含めて図示すればよいわけです。

そんな曲線、どうやって見つけるんだ？

まあまあ、落ち着いていただいて。この不思議な式変形は、次の形に落とし込むのだ、という目標があればたどり着けます。

y - g (t) = g^{'} (t) (x - t) .

これは、曲線 $y = g (x)$ の $x = t$ における接線の式です。右辺を展開して、 $y$ について整理すると

y = g^{'} (t) x + g (t) - t g^{'} (t) .

これを、先ほど求めた直線の式

y = 3 (t^{2} - 1) x - 2 t^{3}

と見比べます。同じ直線にしたいのだから、 $x$ の係数と定数項がそれぞれ一致すればよい。つまり、探している関数 $g$ の条件は

\begin{aligned} g^{'} (t) & = 3 t^{2} - 3 \\ g (t) - t g^{'} (t) & = - 2 t^{3} \end{aligned}

微分された関数から、元の関数へ戻す

最初の式は、未知の関数 $g$ の微分を含む方程式、つまり微分方程式です。ただし今回は、「微分すると $3 t^{2} - 3$ になる関数は何か」と考えるだけ。積分すると

g (t) = \int (3 t^{2} - 3) d t = t^{3} - 3 t + C .

積分定数 $C$ は、もう一つの条件で決まります。代入すると

\begin{aligned} g (t) - t g^{'} (t) & = (t^{3} - 3 t + C) - t (3 t^{2} - 3) \\ = - 2 t^{3} + C \end{aligned}

これが $- 2 t^{3}$ と一致するには $C = 0$ 。したがって

g (t) = t^{3} - 3 t .

あの三次曲線は、突然のひらめきで持ってきたものではなく、接線の式に合わせて逆算できたのです。

微分方程式を解かず、三次式として探してもよい

その文句は受け付けません。縛りプレイで大学受験を突破できるのなら、どうぞそのようになさってくださいね。

……と強気に書きましたが、今回やったことは多項式の積分と代入です。それに、 $g (t)$ が三次式だと仮定すれば、積分を使わずに見つけることもできます。

\begin{aligned} g (t) & = a t^{3} + b t^{2} + c t + d \\ g^{'} (t) & = 3 a t^{2} + 2 b t + c \\ g (t) - t g^{'} (t) & = - 2 a t^{3} - b t^{2} + d \end{aligned}

これらを、それぞれ $3 t^{2} - 3$ 、 $- 2 t^{3}$ と比較すれば

a = 1, b = 0, c = - 3, d = 0

と決まります。やはり $g (t) = t^{3} - 3 t$ です。ここで必要なのは、一般的な微分方程式を解くことではありません。接線の式に当てはまる関数を一つ見つけて、実際に一致すると確かめれば十分です。ただの式変形なのですから。

なお、今回は元のパラメータ $t$ を、そのまま接点の $x$ 座標として使えました。いつもそうできるとは限りません。この点は、次の問題でさっそく効いてきます。

そうお思いの方に、朗報です。この記事の存在意義は、そこにこそあります。次に、もう一つ問題を解いていきましょう。

次の問題：三角関数で動く直線

問題

オリジナル

$θ$ がすべての実数を動くとき、直線

y = (\cos θ) x + \cos 2 θ

の通過領域を求め、図示せよ。

まずは三角関数を整理する

倍角の公式 $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ を使い、 $t = \cos θ$ と置きます。 $θ$ がすべての実数を動くと、 $t$ は $- 1 \leq t \leq 1$ のすべての値をとるので、問題の直線は

y = t x + 2 t^{2} - 1 (- 1 \leq t \leq 1)

と書けます。三角関数の見た目に惑わされず、ここからはこの直線を考えましょう。

今度は、どの曲線の接線なのか？

先ほどと同じように、曲線の接線として表したい。ただし、今回は接点の $x$ 座標を $t$ と決めつけず、別の文字 $u$ で表します。切片が傾き $t$ の二次式になっているので、まずは二次関数

g (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

の接線として表せないか試してみましょう。 $x = u$ における接線は

\begin{aligned} y - (a u^{2} + b u + c) & = (2 a u + b) (x - u) \\ y & = (2 a u + b) x - a u^{2} + c \end{aligned}

これを $y = t x + 2 t^{2} - 1$ に合わせます。傾きの一致から

t = 2 a u + b, u = \frac{t - b}{2 a} .

定数項も一致させ、接点の座標を代入すると、

\begin{aligned} - a u^{2} + c & = 2 t^{2} - 1 \\ - \frac{(t - b)^{2}}{4 a} + c & = 2 t^{2} - 1 \end{aligned}

$t$ の二次・一次・定数の係数を比較して

\begin{aligned} - \frac{1}{4 a} & = 2, & \frac{b}{2 a} & = 0, & c - \frac{b^{2}}{4 a} & = - 1 \\ a & = - \frac{1}{8}, & b & = 0, & c & = - 1 \end{aligned}

探していた曲線は

y = - \frac{x^{2}}{8} - 1

でした。接点の $x$ 座標は $u = - 4 t$ 。念のため接線の式を確かめると

\begin{aligned} y - (- 2 t^{2} - 1) & = t (x + 4 t) \\ y & = t x + 2 t^{2} - 1 \end{aligned}

確かに元の式と一致します。

$t$ が $- 1$ から $1$ まで動く間、接点の $x$ 座標は $4$ から $- 4$ まで動きます。今回の直線は、この放物線の $- 4 \leq x \leq 4$ の部分に接する直線だったのです。このように、動く直線の族に接する曲線が、この記事の主役である包絡線です。

接線の動く範囲を図示する

したがって、求める領域は、放物線 $y = - x^{2} / 8 - 1$ 上で接点の $x$ 座標を $- 4$ から $4$ まで動かしたときに、接線が通る範囲です。下の図の青い領域が答えで、境界も含みます。

$t = \cos θ$ を動かして、接線が通った跡を眺めてみましょう。薄い橙色の残像が積み重なると、領域の形が見えてきます。「通過領域」の表示を切り替えて、答えと見比べてみてください。

［図：三角関数で動く直線の通過領域］

放物線y=−x²/8−1上で、接点の横座標が−4から4まで動くときの接線の通過範囲です。青い領域が答えで、境界を含みます。薄い橙色の残像と見比べられます。