直線の集まりから曲線が現れる

和と積の正体――(u+v, uv)にも接線が隠れている

著者：柚木芹香

今度は、和と積がお相手です

直線が動く問題を二つ見たところで、少し景色を変えてみましょう。

問題

オリジナル

$u, v$ がそれぞれすべての実数を動くとき、点

(u + v, u v)

の動く範囲を求め、図示せよ。

お見事。その方法で解けます。どうぞ、その鉛筆はいったん置かずに持っていてください。今日は、その手順の中で何が起きているのかを、少しばかり覗いてみたいのです。「知っている問題だった」と「知っている現象だった」は、なかなか違う。前者は問題の服装が変わると途端に怪しくなります。数学の問題だって、毎日同じ制服を着てくれるとは限りませんからね。

文字に二つの仕事をさせない

まず、動く点の座標を

x = u + v, y = u v

と置きます。これから図を描くのは $x y$ 平面です。 $u, v$ は入力、 $(x, y)$ はその入力から作られる点。この二つを区別しておきましょう。

同じ文字に二つの仕事をさせて、あとで自分が混乱するほうがよほど面倒です。文字に払う給料はゼロなので、必要なときは雇いましょう。

さて、 $u$ と $v$ が二つとも動く。いかにも忙しそうです。では、片方に少し待っていてもらいましょう。 $u$ を固定し、 $v$ だけを動かします。すると

\begin{aligned} v & = x - u \\ y & = u (x - u) = u x - u^{2} \end{aligned}

おや、直線になりました。

$u$ を一つ決めて、残りを動かしただけです。手品にしては、仕掛けがずいぶん安上がりでしょう？

またお前か、接線

ここまで来れば、前の節と同じことを考えられます。 $y = u x - u^{2}$ は、どの曲線の接線でしょうか。切片が傾き $u$ の二次式なので、二次関数を試してみます。まず $y = a x^{2}$ の、 $x = s$ における接線は

\begin{aligned} y - a s^{2} & = 2 a s (x - s) \\ y & = 2 a s x - a s^{2} \end{aligned}

傾きを $u$ に合わせるには $2 a s = u$ 、つまり $s = u / (2 a)$ 。これを切片へ代入すると

- a s^{2} = - \frac{u^{2}}{4 a} .

これを $- u^{2}$ にしたいので、 $a = 1 / 4$ とすればよい。したがって、試してみるべき曲線は

y = \frac{x^{2}}{4} .

実際に、 $x = 2 u$ における接線を求めると

\begin{aligned} y - u^{2} & = u (x - 2 u) \\ y & = u x - u^{2} \end{aligned}

確かに一致しました。

$u$ はすべての実数を動くので、接点の横座標 $2 u$ もすべての実数を動きます。今回は放物線の一部分だけではなく、放物線全体の接線を集めているわけです。

［図：二つの数を動かして、和と積の点を見る］

uを固定すると、点(x,y)=(u+v,uv)は放物線y=x²/4の接線y=ux−u²上を動きます。u=vなら点は放物線上にあり、uとvを入れ替えても点は動きません。全実数の入力が作る領域はy≤x²/4です。

「和と積だから判別式」と唱えるだけでも、この問題の答えは出ます。でも、ほかの方法にも目を向けてみませんか、というお誘いだったわけです。

少しだけ、そのつながりを覗いてみましょう。ここからは偏微分という記号も出てきますが、やることは「ほかの文字を固定して、一つの文字で微分する」だけです。記号が増えたからといって、急に別の惑星へ来たわけではありません。まず、一般の接線の式を

F (x, y, t) = y - g (t) - g^{'} (t) (x - t) = 0

と書きます。 $t$ を一つ決めると、一本の直線が決まります。その直線と、パラメータを少しずらした直線

F (x, y, t + Δ t) = 0

との交点を $C_{Δ t} = (X_{Δ t}, Y_{Δ t})$ としましょう。添字は「ずらし幅によって交点も変わる」という目印です。以下、図では短く $C$ と呼びます。この交点は、二本の直線の式を両方とも満たします。ならば、式を引いてもゼロです。 $Δ t \neq 0$ として、差を $Δ t$ で割ると

\frac{F (X_{Δ t}, Y_{Δ t}, t + Δ t) - F (X_{Δ t}, Y_{Δ t}, t)}{Δ t} = 0.

見覚えのある形になりましたね。二本の交点が存在し、 $Δ t \to 0$ で有限の点 $(X, Y)$ に近づくとします。 $F$ が十分なめらかなら、この極限で

F (X, Y, t) = 0, \frac{\partial F}{\partial t} (X, Y, t) = 0

が得られます。 $\partial F / \partial t$ は、 $x, y$ を固定して $t$ だけで微分したものです。こうして近づいた交点の軌跡が、包絡線を見つける手がかりになります。「十分近い二本の交点」そのものと、その極限は区別しておきましょう。

抽象的な話だけでは、鉛筆も退屈してしまいます。今の問題の直線で、交点を実際に求めてみましょう。

\begin{aligned} y & = u x - u^{2} \\ y & = (u + Δ u) x - (u + Δ u)^{2} \end{aligned}

二式を引き、ゼロでないずらし幅で割ります。求まった横座標を一本目の式に戻せば、

\begin{aligned} 0 & = Δ u x - 2 u Δ u - (Δ u)^{2} \\ x & = 2 u + Δ u \\ y & = u (2 u + Δ u) - u^{2} \\ = u^{2} + u Δ u \end{aligned}

したがって、交点は

C = (2 u + Δ u, u^{2} + u Δ u) .

下の図で、まず $u$ を固定したまま $Δ u$ を小さくしてください。二本の直線が近づくにつれて、交点 $C$ はどこへ向かうでしょうか。

［図：二本の直線を近づけて、交点Cを追う］

y=ux−u²とy=(u+Δu)x−(u+Δu)²の交点は、Δu≠0のときC=(2u+Δu,u²+uΔu)。Δu→0でQ=(2u,u²)へ近づき、Qの軌跡はy=x²/4になります。Cでの判別式はD=(Δu)²。Δu=0では直線が一致するため、一意な交点ではなく極限の点Qを表示します。

$Δ u \to 0$ とすると、交点は $(2 u, u^{2})$ に近づきます。 $x = 2 u$ から $u = x / 2$ を代入すれば

y = \frac{x^{2}}{4} .

また会いましたね、放物線。今度は接線の式を当てにいくことさえせず、隣り合う二本を連立しただけで出てきました。

では、判別式はどこにいたのでしょう。今の直線を、 $u$ についての二次方程式として読み直します。

\begin{aligned} F (x, y, u) & = u^{2} - x u + y \\ \frac{\partial F}{\partial u} & = 2 u - x \end{aligned}

したがって、先ほどの二つの条件は

{\begin{array}{ll} u^{2} - x u + y = 0, \\ 2 u - x = 0. \end{array}

これは、二次方程式とその導関数が同じ $u$ でゼロになる条件。つまり、重解条件そのものです。微分がゼロになるだけでは足りません。元の式もゼロになる、この二つがそろって初めて重解になります。二次方程式の言葉で書けば

D = x^{2} - 4 y = 0.

接線から出てきた包絡線と、判別式から出てきた境界は、同じ条件を別の方向から眺めていたのです。しかも、図の交点 $C$ では

\begin{aligned} D & = (2 u + Δ u)^{2} - 4 (u^{2} + u Δ u) \\ = (Δ u)^{2} \end{aligned}

二本が近づくほど $D$ もゼロに近づく。判別式も、ちゃんと図の中で働いていたわけです。電卓の中にしか住めない生き物ではありません。

この問題では、 $D \geq 0$ なら実数 $u$ が存在し、 $v = x - u$ とすれば $u v = y$ も満たします。よって求める範囲は

y \leq \frac{x^{2}}{4}

で、境界も含みます。 $D = 0$ は境界、 $D \geq 0$ は領域全体。この違いも押さえておきましょう。

ここまでわかれば、包絡線を探すための手順も見えてきます。動く直線を $F (x, y, t) = 0$ と書き、

{\begin{array}{ll} F (x, y, t) = 0, \\ \frac{\partial F}{\partial t} (x, y, t) = 0 \end{array}

を連立して、 $t$ を消去する。ただし、得られるのは包絡線の候補です。パラメータの範囲や端の直線、退化する場合も確かめて、求める通過領域を判断します。二次式なら、ここで判別式による重解条件と直接つながります。

さて、ここから先は問題演習で、このアイデアの威力を試してみましょう。東大入試レベルの問題も扱う予定ですので、どうぞ身構えてください。十分に身構えたあとで、仕掛けの簡単さに拍子抜けしてもらえたら、書き手としては大成功です。