力と運動の法則

空気抵抗と微分方程式

著者：柚木芹香

速さによって変わる力を受ける運動を解くために，指数関数と対数の微分・積分，そして1階の微分方程式を学びます．前の節で結果だけを示した線形抵抗の落下は，この道具で導けます．そのあと例題に進みます．

数学の道具

運動方程式を解く2つの道具を用意します．

定理数学の道具：指数関数と対数の微分・積分

定数 $a (\neq 0)$ に対して

\frac{d}{d x} e^{a x} = a e^{a x}, \int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C

がなりたつ．また， $\ln x$ （ $e^{y} = x$ を満たす実数 $y$ ）は正の数 $x > 0$ に対してだけ定まり，

\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x} (x > 0), \int \frac{d x}{x} = \ln | x | + C (x \neq 0)

がなりたつ（積分は $0$ をまたがない区間で考える）．

導出． 正の数 $b$ を底とする $b^{x}$ の変化率は $\frac{b^{x + h} - b^{x}}{h} = b^{x} \cdot \frac{b^{h} - 1}{h}$ である． $h \to 0$ のとき $\frac{b^{h} - 1}{h}$ がちょうど1に近づく底 $b$ を $e (= 2.718 \dots)$ と決める．すると $(e^{x})^{'} = e^{x}$ で，合成関数の微分から $(e^{a x})^{'} = a e^{a x}$ である． $y = \ln x$ は $e^{y} = x$ と同じ意味なので，両辺を $x$ で微分して $e^{y} y^{'} = 1$ ， $y^{'} = 1 / e^{y} = 1 / x$ を得る．

性質： $\ln e^{x} = x$ ， $e^{\ln x} = x$ （ $x > 0$ ）， $\ln (A B) = \ln A + \ln B$ ， $\ln \frac{1}{A} = - \ln A$ （ $A, B > 0$ ）．また， $b \neq 0$ のとき， $a - b x \neq 0$ の範囲で，微分して確かめればわかるように

\int \frac{d x}{a - b x} = - \frac{1}{b} \ln | a - b x | + C

である．

練習 1． 次を計算せよ．(1) $\frac{d}{d t} e^{- 3 t}$ 　(2) $\int_{0}^{2} e^{- t / 2} d t$ 　(3) $\int \frac{d x}{5 - 2 x}$ 　(4) $\ln 8$ （ $\ln 2 \approx 0.693$ を使う）　(5) $\frac{d}{d t} \ln (1 + 2 t)$ （ $t > - \frac{1}{2}$ ）　(6) $e^{- 0.20 t} = 0.50$ となる $t$

答え：(1) $- 3 e^{- 3 t}$ 　(2) ${[- 2 e^{- t / 2}]}_{0}^{2} = 2 (1 - e^{- 1}) \approx 1.26$ 　(3) $- \frac{1}{2} \ln | 5 - 2 x | + C$ 　(4) $\ln 2^{3} = 3 \ln 2 \approx 2.08$ 　(5) 連鎖律で $\frac{2}{1 + 2 t}$ 　(6) 両辺の $\ln$ をとって $- 0.20 t = - \ln 2$ ， $t = \ln 2 / 0.20 \approx 3.5$

定理数学の道具：1階の微分方程式（変数分離）

未知の関数 $y (t)$ とその1階の導関数 $\frac{d y}{d t}$ だけを含む等式を，1階の微分方程式という．基本の形は

\frac{d y}{d t} = - λ y (λ > 0 は定数)

である． $y \neq 0$ の範囲で両辺を $y$ で割り， $d t$ を右辺へ移す（変数分離）．

\frac{d y}{y} = - λ d t

両辺を積分して $\ln | y | = - λ t + C$ ，よって $y = y_{0} e^{- λ t}$ （ $y_{0}$ は $t = 0$ での値）．割ることで除いた $y = 0$ も， $y \equiv 0$ が元の式を満たすので， $y_{0} = 0$ の場合としてこの式に含まれる．

別の形： $\frac{d y}{d t} = - λ (y - y_{s})$ （ $y_{s}$ は定数）． $u = y - y_{s}$ とおくと $\frac{d u}{d t} = - λ u$ なので

y = y_{s} + (y_{0} - y_{s}) e^{- λ t}

である．はじめから $y_{0} = y_{s}$ （ $u \equiv 0$ ）なら $y$ は $y_{s}$ のまま一定で，これもこの式に含まれる． $y$ は $y_{s}$ に，差が指数関数的に縮みながら近づく．

練習 2． (1) $\frac{d y}{d t} = - 2 y$ ， $y (0) = 5$ ．(2) $\frac{d y}{d t} = 3 - y$ ， $y (0) = 0$ ．それぞれ $y (t)$ を求めよ．

$\frac{d v}{d t} = 9.8 - 0.50 v$ ， $v (0) = 0$ （単位は SI）の解を求め， $t = 2.0$ での $v$ を求めよ．

答え：(1) $y = 5 e^{- 2 t}$ 　(2) $y = 3 (1 - e^{- t})$ 　(3) $\frac{d v}{d t} = - 0.50 (v - 19.6)$ なので $v = 19.6 (1 - e^{- 0.50 t})$ ． $t = 2.0$ で $19.6 (1 - e^{- 1}) \approx 12 m s^{- 1}$

ポイント数学の道具： $e^{- x}$ の振る舞い

$e^{- x}$ は $x = 0$ で 1 で， $x$ が増えると単調に，しかも急速に 0 に近づく．

$x$	0	0.5	1	2	3	5	10
$e^{- x}$	1	0.61	0.37	0.14	0.050	0.0067	$4.5 \times 10^{- 5}$

$e^{- x}$ は $x = 1$ で約 37 %， $x = \ln 2 \approx 0.69$ で半分， $x = 3$ で 5 % になる．
$1 - e^{- x}$ は 0 から 1 に近づき， $x = 1$ で 63 %， $x = 3$ で 95 %， $x = \ln 100 \approx 4.6$ で 99 % に達する．

練習 3． (1) $e^{- x} = 0.10$ となる $x$ を求めよ（ $\ln 10 \approx 2.30$ ）．(2) $y = y_{0} e^{- t / τ}$ で， $t = 4 τ$ のとき $y$ は $y_{0}$ の何 % か．

答え：(1) $x = \ln 10 \approx 2.3$ ．(2) $e^{- 4} \approx 0.018$ なので約 1.8 %．

線形抵抗の落下を導く

前の節の運動方程式は $\frac{d v}{d t} = \frac{v_{\infty} - v}{τ}$ でした．これは $\frac{d y}{d t} = - λ (y - y_{s})$ の形（ $λ = 1 / τ$ ， $y_{s} = v_{\infty}$ ）なので，練習 2 の (2) と同じ解き方ができます． $u = v_{\infty} - v$ とおくと $\frac{d u}{d t} = - \frac{u}{τ}$ ， $u (0) = v_{\infty}$ なので $u = v_{\infty} e^{- t / τ}$ ，すなわち

v (t) = v_{\infty} (1 - e^{- t / τ})

が得られます．前の節で示した $v$ - $t$ グラフの形は，この式から読み取れます．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の小球を速さに比例する抵抗 $F = k v$ のある液体中で静かに放す．落下を始めた点から測った落下距離 $x (t)$ を求め， $t$ が十分小さいときに自由落下 $x = \frac{1}{2} g t^{2}$ に一致することを確かめよ．また $t$ が十分大きいときの様子を述べよ． $| s |$ が1より十分小さいとき， $e^{- s} \approx 1 - s + \frac{1}{2} s^{2}$ と近似してよい．

**［図：液体中を落ちる小球］**
液体中の小球に下向きのmgと上向きのkvが働く．落下距離xは放した位置から下向きに測る．

解答を見る

考え方 速さ $v (t)$ はすでに求めてある．距離はそれを時間で積分すれば得られる．

$x (0) = 0$ として

x (t) = \int_{0}^{t} v_{\infty} (1 - e^{- t^{'} / τ}) d t^{'} = v_{\infty} [t - τ (1 - e^{- t / τ})]

である． $τ ≫ t$ のとき， $s = t / τ$ として $e^{- s} \approx 1 - s + \frac{1}{2} s^{2}$ を使うと $1 - e^{- s} \approx s - \frac{1}{2} s^{2}$ なので

x \approx v_{\infty} [t - τ (\frac{t}{τ} - \frac{t^{2}}{2 τ^{2}})] = \frac{v_{\infty}}{2 τ} t^{2} = \frac{1}{2} g t^{2}

となる（ $v_{\infty} / τ = g$ を用いた）．最初のうちは自由落下と一致する．

$t ≫ τ$ のとき $e^{- t / τ} \to 0$ なので $x \approx v_{\infty} (t - τ)$ ．これは速さ $v_{\infty}$ の等速運動で，出発が時間 $τ$ だけ遅れたものに等しい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $2.0 g$ の小球が粘い液体の中を落下する．抵抗は $F = k v$ ， $k = 0.040 kg s^{- 1}$ とする．静かに放してから，終端速度の 95 % に達するまでの時間と，その間に落ちる距離を求めよ．

**［図：終端速度に近づく速さ］**
速さが終端速度に近づく様子を示す．95%に達する時刻は未知の時刻として記し，数値や式は示さない．

解答を見る

考え方 まず $v_{\infty}$ と $τ$ を出す． $1 - e^{- t / τ} = 0.95$ から時間が決まり，その時刻を例題 1 の $x (t)$ に入れる．

v_{\infty} = \frac{m g}{k} = \frac{2.0 \times 10^{- 3} \times 9.8}{0.040} = 0.49 m s^{- 1}, τ = \frac{m}{k} = \frac{2.0 \times 10^{- 3}}{0.040} = 0.050 s

である． $1 - e^{- t / τ} = 0.95$ より $e^{- t / τ} = 0.05 = 1 / 20$ ，両辺の対数をとって

t = τ \ln 20 = 0.050 \times 3.00 = 0.15 s

このときの距離は

x = v_{\infty} [t - τ (1 - 0.05)] = 0.49 \times [0.150 - 0.0475] \approx 0.050 m

より，約 $0.15$ 秒で約 $5.0 cm$ 落ちる．

ポイントここまでのまとめ

$(e^{a x})^{'} = a e^{a x}$ ， $(\ln x)^{'} = 1 / x$ ． $\frac{d y}{d t} = - λ (y - y_{s})$ の解は $y = y_{s} + (y_{0} - y_{s}) e^{- λ t}$ で，差が指数関数的に縮んでいく．
線形抵抗の落下は， $u = v_{\infty} - v$ とおいて変数分離すると $v = v_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ が導ける．
距離は $x = v_{\infty} [t - τ (1 - e^{- t / τ})]$ ． $t$ が $τ$ より十分小さいときは自由落下 $\frac{1}{2} g t^{2}$ ，十分大きいときは $v_{\infty}$ の等速運動になる．