力と運動の法則

空気抵抗の演習

著者：柚木芹香

抵抗力の単位から始めて，終端速度，水平投射，投げ上げへと進みます．解く前に $v_{\infty}$ と $τ$ を式で書き，極端な場合（ $t \to 0$ ， $t \to \infty$ ， $k \to 0$ ）で答えを検算してください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

線形抵抗 $F = k v$ の係数 $k$ の単位を， $kg$ と $s$ で表せ．2乗抵抗 $F = c v^{2}$ の $c$ の単位も， $kg$ と $m$ で表せ．
$v_{\infty} = m g / k$ と $τ = m / k$ の単位が，それぞれ速さと時間になっていることを確かめよ．

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$N = kg m s^{- 2}$ より， $k = F / v$ の単位は $kg s^{- 1}$ ， $c = F / v^{2}$ の単位は $kg m^{- 1}$ である．
$\frac{m g}{k}$ の単位は $\frac{kg m s^{- 2}}{kg s^{- 1}} = m s^{- 1}$ ， $\frac{m}{k}$ の単位は $\frac{kg}{kg s^{- 1}} = s$ である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $1.0 cm$ の鉄球（密度 $7.9 g {cm}^{- 3}$ ）と，同じ半径の丸めた紙の玉（平均の密度 $0.20 g {cm}^{- 3}$ ）を空気中で落とす．2乗抵抗の係数 $c$ は形と大きさだけで決まるので，両者で等しく $c = 9.0 \times 10^{- 5} kg m^{- 1}$ とする．

2つの終端速度を求めよ．
抵抗が効き始める落下距離の目安は $v_{\infty}^{2} / g$ である．高さ $2.0 m$ から落とすとき，空気抵抗が大きく効くのはどちらか．

**［図：空気中を落下する二つの球］**
同じ大きさの鉄球と紙の玉に働く重力と抵抗を示す．矢印の長さは力の比を表さない．

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体積は $\frac{4}{3} π (1.0 \times 10^{- 2})^{3} = 4.19 \times 10^{- 6} m^{3}$ ．質量は鉄が $3.3 \times 10^{- 2} kg$ ，紙が $8.4 \times 10^{- 4} kg$ である． $v_{\infty} = \sqrt{m g / c}$ より

v_{\infty, 鉄} \approx 60 m s^{- 1}, v_{\infty, 紙} \approx 9.6 m s^{- 1}

目安の距離は，鉄が約 $3.7 \times 10^{2} m$ ，紙が約 $9.4 m$ である． $2.0 m$ は鉄の目安よりずっと短く，鉄球はほぼ自由落下である．紙は，自由落下の速さ $\sqrt{2 g h} = 6.3 m s^{- 1}$ でも抵抗が重力の約4割に達するので，空気抵抗が大きく効き，鉄球より遅れて着地する．

演習 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m = 0.050 kg$ の小球を，十分高い所から水平に速さ $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ で投げる．速さに比例する抵抗 $F = - k v$ ， $k = 0.10 kg s^{- 1}$ が働く．水平方向を $x$ ，鉛直下向きを $y$ とする．

$x (t)$ を求め，水平に進める距離の上限を求めよ．
$y (t)$ を求め，軌道の式 $y (x)$ を導け．
$t = 1.0 s$ での $x$ ， $y$ を求めよ．

**［図：抵抗を受ける水平投射］**
高い位置から水平に初速度v₀で投げる小球を示す．軌道と水平到達距離は問題で求めるので描かない．

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抵抗は速度に比例するので，成分ごとに独立に扱える． $τ = m / k = 0.50 s$ ， $v_{\infty} = g τ = 4.9 m s^{- 1}$ である．

$\frac{d v_{x}}{d t} = - v_{x} / τ$ より $v_{x} = v_{0} e^{- t / τ}$ ．積分して

x (t) = v_{0} τ (1 - e^{- t / τ})

$t \to \infty$ で $x \to v_{0} τ = m v_{0} / k = 5.0 m$ ．

$y$ 方向は静かに落とした場合と同じで， $y (t) = v_{\infty} [t - τ (1 - e^{- t / τ})]$ ． $X = x / (v_{0} τ)$ とおくと $e^{- t / τ} = 1 - X$ ， $t = - τ \ln (1 - X)$ なので

y = - v_{\infty} τ [\ln (1 - X) + X]

$1 ≫ X$ では $- \ln (1 - X) \approx X + \frac{1}{2} X^{2}$ なので $y \approx \frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2}$ ，抵抗のないときの放物線に一致する． $X \to 1$ で $y \to \infty$ となり，軌道は $x = v_{0} τ$ を漸近線とする．

$e^{- 2} = 0.135$ より $x = 5.0 \times 0.865 \approx 4.3 m$ ， $y = 4.9 \times (1.0 - 0.50 \times 0.865) \approx 2.8 m$ である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

球形の雨粒（半径 $r$ ，水の密度 $ρ_{w} = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）が， $F = \frac{1}{2} C ρ_{a} (π r^{2}) v^{2}$ の抵抗を受けて落下する． $ρ_{a} = 1.2 kg m^{- 3}$ ， $C = 0.50$ とする．

終端速度 $v_{\infty}$ を $r$ の式で表し， $r = 1.0 mm$ の値を求めよ．
$r = 2.5 mm$ では $v_{\infty}$ は何倍になるか．

**［図：落下する雨粒］**
半径rの雨粒の重力と空気抵抗，進行方向から見た断面積πr²を示す．

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$m = \frac{4}{3} π r^{3} ρ_{w}$ ， $c = \frac{1}{2} C ρ_{a} π r^{2}$ を $v_{\infty}^{2} = m g / c$ に代入して

v_{\infty} = \sqrt{\frac{8 ρ_{w} g r}{3 C ρ_{a}}}

$r = 1.0 \times 10^{- 3} m$ のとき $v_{\infty}^{2} = \frac{8 \times 10^{3} \times 9.8 \times 10^{- 3}}{3 \times 0.50 \times 1.2} \approx 43.6$ ， $v_{\infty} \approx 6.6 m s^{- 1}$ ．

$v_{\infty} \propto \sqrt{r}$ なので $\sqrt{2.5} \approx 1.6$ 倍（約 $10 m s^{- 1}$ ）．大きな雨粒ほど速いが，増え方はゆるやかである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

地面から小球を鉛直上向きに初速 $v_{0}$ で投げ上げる．速さに比例する抵抗 $F = k v$ が働く．上向きを正， $τ = m / k$ ， $v_{\infty} = g τ$ とする．

速度 $v (t)$ を求めよ．
最高点に達するまでの時間 $T$ を求めよ．また $k \to 0$ の極限で $T \to v_{0} / g$ となることを確かめよ． $| ε |$ が1より十分小さいとき $\ln (1 + ε) \approx ε$ である．
$v_{0} = 20 m s^{- 1}$ ， $τ = 1.0 s$ のときの $T$ を求め，抵抗がない場合と比べよ．

**［図：抵抗のある投げ上げ］**
上昇中の小球では重力mgと抵抗kvが下向きに働く．上向きの速度を青で示す．

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上昇中は重力 $m g$ も抵抗 $k v$ も下向きなので $m \frac{d v}{d t} = - m g - k v$ ，すなわち $\frac{d v}{d t} = - (v + v_{\infty}) / τ$ である． $u = v + v_{\infty}$ とおくと $\frac{d u}{d t} = - u / τ$ ， $u (0) = v_{0} + v_{\infty}$ なので

v (t) = (v_{0} + v_{\infty}) e^{- t / τ} - v_{\infty}

最高点で $v = 0$ ，すなわち $e^{- T / τ} = \frac{v_{\infty}}{v_{0} + v_{\infty}}$ ．対数をとって

T = τ \ln (1 + \frac{v_{0}}{v_{\infty}})

$ε = v_{0} / v_{\infty}$ が1より十分小さいとき， $\ln (1 + ε) \approx ε - \frac{1}{2} ε^{2}$ で， $τ / v_{\infty} = 1 / g$ より $T \approx \frac{v_{0}}{g} (1 - \frac{v_{0}}{2 v_{\infty}}) \to \frac{v_{0}}{g}$ となり，抵抗のない結果に一致する．

$v_{\infty} = 9.8 m s^{- 1}$ より $T = 1.0 \times \ln 3.04 \approx 1.1 s$ ．抵抗がなければ $v_{0} / g \approx 2.0 s$ で，上昇時間はほぼ半分になる．

ポイント教える人へ

「終端速度に達する」は曖昧である． $e^{- t / τ}$ は有限の時間では0にならないこと， $τ$ の何倍で何割に達するかを数で示す．
変数分離でつまずく場合は， $u = v_{\infty} - v$ の置き換えが入口になる．最後に「微分して元の式に戻るか」を確かめさせる．
確かめには， $m$ を2倍にしたとき $v_{\infty}$ と $τ$ がどう変わるかを答えさせる．検算は「 $t \to 0$ で自由落下に戻るか」「 $t \to \infty$ で $v_{\infty}$ になるか」の2つである．