力と運動の法則

力のつり合い

著者：柚木芹香

問い

ハンモックを木の間に張るとき，ロープをピンと水平に近く張るほど，ロープは切れやすくなります．体重は同じなのに，なぜでしょうか．自分の言葉で理由を説明してみてください．

考えてみる

ロープが人を支えられるのは，ロープが引く力の上向き成分が体重を打ち消すからです．ロープは左右2本あり，水平から角 $θ$ だけ上を向いているとします．1本の張力を $T$ とすると，上向き成分は1本あたり $T \sin θ$ です．体重を $W$ とすると，鉛直方向のつり合いは

2 T \sin θ = W ⟹ T = \frac{W}{2 \sin θ}

です．水平方向の成分 $T \cos θ$ は左右で打ち消し合うだけで，体重を支える役には立ちません．ロープを水平に近づけると，張力のほとんどが役に立たない水平成分になり，鉛直成分をかせぐために $T$ を大きくせざるをえません．

体重 $70 kg$ （ $W \approx 690 N$ ）で数値を見てみます．

$θ$	90°	60°	30°	10°	5°	2°
$T$	350 N	400 N	690 N	2000 N	4000 N	9900 N

水平から10°に張ると張力は体重の約3倍，2°にすると約14倍です． $θ \to 0$ で $T \to \infty$ なので，ロープを完全に水平にピンと張ることは，どんなに強いロープでもできません．問いの答えは，これで尽きています．この「力を成分に分け，成分ごとに釣り合わせる」という考えが，この節の中心です．

**［図：ハンモックの張力と体重］**
ハンモックに人が横たわる様子の簡略図．左右のロープは水平から角θをなし，人の位置で体重Wが下向きに，張力Tが各ロープに沿って斜め上向きに働く．右側に，右のロープの張力Tを水平成分TcosθとTsinθ（鉛直成分）に分けた図を添える．

質点のつり合い

法則質点のつり合い

物体を大きさのない点（質点）とみなせるとき，物体にかかる力のベクトル和が0であれば，物体の加速度は0である．つまり，静止している物体は静止し続け，等速で動いている物体は等速で動き続ける．

F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} = 0

これは運動方程式 $m a = \sum F$ で $a = 0$ とおいたものにすぎません．新しい法則ではなく，運動方程式の特別な場合です．成分で書くと，座標軸ごとに次のようになります．

\sum F_{x} = 0, \sum F_{y} = 0

ここでいう「質点」は，大きさをもつ物体の回転を考えなくてよい場合を指します．棒やはしごのように，力の働く位置が違うと回転してしまう物体のつり合いは，トルクという量が必要になるので後の章で扱います．この節では，1点に力が集まるものだけを扱います．

つり合いの問題は，次の手順で解くことができます．

注目する物体を決め，その物体だけを描く．
働く力をすべて描く（重力，接触しているものからの力）．自由体図を描く．
座標軸を選ぶ．力の多くが軸に沿うように選ぶと楽になる．
成分ごとに $\sum F = 0$ を書く．
解いたら，極端な場合（角が0°や90°）で答えを確かめる．

糸を扱う約束も確認しておきます．軽い糸の張力は，途中に摩擦などの接線方向の外力が無ければ糸のどこでも同じで，糸は引く向きにしか力を出しません．滑らかな面からは面に垂直な力（垂直抗力）だけを受けます．滑らかな滑車は糸の向きを変えるだけで，張力の大きさは変えません．

3力のつり合い

3つの力がつり合うとき， $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ なので，3つの矢印を順につなぐと元の点に戻る三角形ができます（力の三角形）．三角形を使うと，成分に分けなくても答えが出ることがあります．

定理ラミの定理

同一直線上にない，0でない3力 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ がつり合うとき， $F_{2}$ と $F_{3}$ のなす角を $α$ ， $F_{3}$ と $F_{1}$ のなす角を $β$ ， $F_{1}$ と $F_{2}$ のなす角を $γ$ とすると

\frac{F_{1}}{\sin α} = \frac{F_{2}}{\sin β} = \frac{F_{3}}{\sin γ}

がなりたつ．

証明． 力の三角形で，辺 $F_{1}$ の向かい側の内角は $180^{\circ} - α$ である（矢印をつなぎ直すと，始点をそろえて測った角の補角になる）． $\sin (180^{\circ} - α) = \sin α$ なので，正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ （次の節で確かめる）から上の式を得る．

ポイントここまでのまとめ

問いの答えは，ロープの張力の上向き成分 $T \sin θ$ だけが体重を支えるから， $T = \frac{W}{2 \sin θ}$ となり，水平に近づく（ $θ \to 0$ ）ほど $T \to \infty$ となって切れやすい，である．
質点のつり合いは $\sum F = 0$ ，成分では $\sum F_{x} = 0$ ， $\sum F_{y} = 0$ である．運動方程式で $a = 0$ とおいた特別な場合にすぎない．
解き方は，物体を決める，力を全部描く，軸を選ぶ，成分ごとに合力が0，極端な場合で検算，の順である．
3力がつり合うと，矢印は力の三角形をつくる．3力が同一直線上にないとき，ラミの定理 $\frac{F_{1}}{\sin α} = \frac{F_{2}}{\sin β} = \frac{F_{3}}{\sin γ}$ で解くこともできる．
大きさのある物体の回転（トルク）は後の章で扱い，この節では1点に力が集まる場合だけを扱う．