力と運動の法則

力の三角形と例題

著者：柚木芹香

ラミの定理を使うときに必要な，三角形の辺と角の関係を確かめます．そのあと，つり合いの例題を解きます．

定理数学の道具：力の三角形と正弦定理

三角形の辺 $a, b, c$ と，その向かい側の角 $A, B, C$ について，正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ と，余弦定理 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ がなりたつ．力の三角形では，辺の長さが力の大きさに，内角が「力どうしのなす角の補角」に当たる．

練習 1． $3 N$ ， $4 N$ ， $5 N$ の3力がつり合っているとき， $3 N$ と $4 N$ の力のなす角を求めよ．

答え： $F_{3} = - (F_{1} + F_{2})$ の大きさが $5$ なので， $5^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos γ$ ．よって $\cos γ = 0$ ， $γ = 90^{\circ}$ ．

練習 2． 重さ $10 N$ のおもりを，水平と $30^{\circ}$ をなす糸Aと，水平と $60^{\circ}$ をなす糸B（左右に分かれる）でつるした．力の三角形と正弦定理から，2本の張力を求めよ．

答え：力の三角形の内角は，重力の向かいが $90^{\circ}$ ，糸Aの張力の向かいが $30^{\circ}$ ，糸Bの張力の向かいが $60^{\circ}$ になる．正弦定理より $\frac{10}{\sin 90^{\circ}} = \frac{T_{A}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{T_{B}}{\sin 60^{\circ}}$ で， $T_{A} = 5.0 N$ ， $T_{B} \approx 8.7 N$ ．

使い分けの目安は，力が3つで角度がきれいなら三角形やラミの定理，4つ以上や座標軸に沿った力が多いなら成分，です．どちらでも答えは同じになるので，片方で解いて片方で検算できます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

ハンモックの問いを数値で確かめる．体重 $70 kg$ の人が乗る．左右のロープは同じ角 $θ$ で張られ，各ロープが耐えられる張力は $3.0 kN$ までとする．(1) $θ = 8^{\circ}$ のとき，張力はいくらか．(2) ロープが切れないために， $θ$ は最小でどれだけ必要か．

**［図：ハンモックを支えるロープ］**
左右のロープが水平と同じ角θをなし，中心に体重W，両側に張力Tが働く．

解答を見る

考え方 人を質点とみなし，鉛直方向のつり合いだけを書く．水平方向は左右で打ち消し合う．

$W = 70 \times 9.8 = 686 N$ ． $2 T \sin θ = W$ より

T = \frac{686}{2 \sin 8^{\circ}} = \frac{686}{2 \times 0.139} \approx 2.5 \times 10^{3} N

体重の約3.6倍で，限度 $3.0 kN$ の内側である．

$T \leq 3000 N$ より $\sin θ \geq \frac{686}{2 \times 3000} = 0.114$ ，したがって $θ \geq {6.6}^{\circ}$ ．これより水平に近く張ると切れる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ のおもりを，結び目 O から糸3で吊るす．結び目 O は，水平に壁へ張った糸1と，天井から斜めに張った糸2（水平面と角 $θ$ をなす）で支えられ，全体が静止している．糸1，2，3の張力 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ を求めよ．

**［図：三本の糸の結び目］**
結び目Oを水平な糸1と斜めの糸2で支え，糸3でおもりを吊るす．

解答を見る

考え方 結び目 O を質点として，O に働く3力（糸1，糸2，糸3の張力）のつり合いを成分で書く．おもりに注目すれば，糸3の張力がわかる．

おもりのつり合いより $T_{3} = m g$ ．O について，水平方向と鉛直方向のつり合いはそれぞれ

T_{2} \cos θ - T_{1} = 0, T_{2} \sin θ - T_{3} = 0

である．よって

T_{2} = \frac{m g}{\sin θ}, T_{1} = \frac{m g}{\tan θ}

検算： $θ = 90^{\circ}$ （糸2が鉛直）では $T_{1} = 0$ ， $T_{2} = m g$ で，確かに糸2だけでおもりを吊るす場合に一致する． $θ \to 0$ では $T_{1}, T_{2} \to \infty$ ．これはハンモックと同じで，糸を水平に近く張るほど大きな張力が要ることを表している．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ ，半径 $R$ の球を，長さ $l$ の軽い糸で，滑らかな鉛直の壁の点 P から吊るす．球は壁に接して静止している．糸の延長線は球の中心を通る．糸の張力 $T$ と，壁からの垂直抗力 $N$ を求めよ．また $R = 0.10 m$ ， $l = 0.30 m$ ， $m = 0.50 kg$ のとき，その値を求めよ．

**［図：壁に糸で吊るした球］**
滑らかな鉛直の壁の点Pから長さlの軽い糸で球が吊るされ，球は壁に接している．球の中心は壁から距離Rにあり，糸の延長線は球の中心を通る（Pから中心までは l+R）．糸が壁となす角はθ．球の中心から，重力mgが下向き，糸の張力Tが糸に沿ってPの向き，壁の垂直抗力Nが壁から離れる水平向きに働く．

解答を見る

考え方 球に働く力は重力，糸の張力，壁の垂直抗力の3つで，向きがはっきりしている．糸が壁となす角 $θ$ を図形から決め，ラミの定理か成分でつり合いを書く．

球の中心は壁から $R$ の距離にあり，P から中心までは $l + R$ なので

\sin θ = \frac{R}{l + R}

である．水平方向，鉛直方向のつり合いは

T \sin θ = N, T \cos θ = m g

よって

T = \frac{m g}{\cos θ}, N = m g \tan θ

である． $R = 0.10$ , $l = 0.30$ では $\sin θ = 0.25$ ， $\cos θ = 0.968$ ， $\tan θ = 0.258$ ． $m g = 4.9 N$ より

T \approx 5.1 N, N \approx 1.3 N

である．糸を長くすると $θ \to 0$ で $N \to 0$ ， $T \to m g$ （壁に接さず，ただ吊るされた状態）に近づき，予想どおりである．

ポイントここまでのまとめ

力の三角形では，辺の長さが力の大きさに，内角が力どうしのなす角の補角に当たる．正弦定理と余弦定理で未知の力や角が求まる．
力が3つで角度がきれいなら三角形やラミの定理，4つ以上や軸に沿う力が多いなら成分で解く．一方で解き，他方で検算できる．
結び目や球のように，注目する物体を決めて水平・鉛直のつり合いを書く．糸を水平に近づけるほど（ $θ \to 0$ ）張力が大きくなる傾向は，どの例題でも現れる．