力と運動の法則

力のつり合いの演習

著者：柚木芹香

成分に分ける方法と，力の三角形を使う方法の両方で解ける問題があります．自由体図に力を全部描き，軸を選んでから解答を見てください．極端な角（0°や90°）での検算を，各問の仕上げにしましょう．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

物体に力 $F_{1} = (3.0, 4.0) N$ と $F_{2} = (- 1.0, 2.0) N$ が働いている．第3の力 $F_{3}$ を加えて物体をつり合わせたい． $F_{3}$ の成分と大きさを求めよ．

**［図：与えられた二つの力］**
原点の物体に働くF₁=(3.0，4.0) NとF₂=(−1.0，2.0) Nを示す．第三の力は描かない．

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つり合いの条件 $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ を成分ごとに書く． $x$ 成分は $3.0 - 1.0 + F_{3 x} = 0$ ， $y$ 成分は $4.0 + 2.0 + F_{3 y} = 0$ なので

F_{3} = (- 2.0, - 6.0) N, F_{3} = \sqrt{{2.0}^{2} + {6.0}^{2}} \approx 6.3 N

である． $F_{1} + F_{2} = (2.0, 6.0) N$ の逆向きになっている．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $3.0 kg$ の物体を，同じ長さの2本の糸で天井の2点から吊るす．2本の糸のなす角（頂角）を (1) $120^{\circ}$ ，(2) $160^{\circ}$ にしたとき，糸の張力をそれぞれ求めよ．

**［図：同じ長さの二本の糸］**
同じ長さの二本の糸で質量3.0 kgの物体を吊るす．二本のなす角をθとする．

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各糸は鉛直から頂角の半分だけ傾いている．傾きを $φ$ とすると，鉛直方向のつり合いは $2 T \cos φ = m g$ ， $m g = 29.4 N$ である．

$φ = 60^{\circ}$ ： $T = \frac{29.4}{2 \cos 60^{\circ}} = 29.4 \approx 29 N$ （ちょうど $m g$ ）．
$φ = 80^{\circ}$ ： $T = \frac{29.4}{2 \cos 80^{\circ}} = \frac{29.4}{0.347} \approx 85 N$ ．開き方を大きくすると張力が急に大きくなる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

傾き $α = 30^{\circ}$ の滑らかな斜面上に，質量 $m = 2.0 kg$ の物体を置き，斜面に平行な糸で支える．

糸の張力と垂直抗力を求めよ．
糸を斜面から角 $φ$ だけ持ち上げる向きに引いても静止させるとき，張力と垂直抗力を $φ$ の式で表し，垂直抗力が0になる $φ$ を求めよ．

**［図：斜面の物体を糸で支える］**
30°の斜面に平行な糸と，斜面から角φだけ持ち上げた糸で支える場合を並べる．

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斜面に平行な方向のつり合いは $T = m g \sin α = 2.0 \times 9.8 \times 0.50 = 9.8 N$ ，垂直な方向のつり合いは $N = m g \cos α = 2.0 \times 9.8 \times 0.866 \approx 17 N$ である．
斜面に平行な方向： $T \cos φ = m g \sin α$ ．垂直な方向： $N + T \sin φ = m g \cos α$ ．よって

T = \frac{m g \sin α}{\cos φ}, N = m g \cos α - m g \sin α \tan φ

$N = 0$ とすると $\tan φ = \cot α$ ，すなわち $φ = 90^{\circ} - α = 60^{\circ}$ である．このとき糸は鉛直で， $T = \frac{m g \sin α}{\cos (90^{\circ} - α)} = m g$ となる．物体は糸で吊られて斜面に触れるだけであり，正しい結果である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $L$ の軽い糸の両端を，同じ高さにある水平距離 $d$ の2点に固定し，滑らかな小さな輪を糸に通して質量 $m$ のおもりを吊るす．輪は糸の上を自由に動ける． $d = 0.60 m$ ， $L = 1.0 m$ のとき，糸の張力を求めよ．また $d \to 0$ と $d \to L$ の極限を調べよ．

**［図：糸を通した滑らかな輪］**
同じ高さの二点に固定した長さLの糸に輪を通し，質量mのおもりを吊るす．支持点間の距離dを示す．

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滑らかな輪を通る糸の張力は左右で等しく $T$ である．左右の糸が鉛直となす角は，つり合いの対称性から等しい（水平方向の成分 $T \sin θ$ が左右で打ち消し合うため）．左右の糸の長さの和が $L$ で，水平方向の幅の和が $d$ なので $L \sin θ = d$ ， $\sin θ = 0.60$ ， $\cos θ = 0.80$ である．鉛直方向のつり合い $2 T \cos θ = m g$ より

T = \frac{m g}{2 \cos θ} = \frac{m g}{1.6} = 0.625 m g

である． $d \to 0$ ： $θ \to 0$ ， $T \to m g / 2$ （糸が鉛直に2本並ぶ）． $d \to L$ ： $θ \to 90^{\circ}$ ， $T \to \infty$ ．糸を水平に近づけるほど張力が大きくなる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の滑らかな球を，鉛直面内で左右に傾いた2つの滑らかな斜面の間（V字の溝）に置く．左の斜面は水平から角 $α$ ，右の斜面は水平から角 $β$ 傾いている．球が各斜面から受ける垂直抗力 $N_{1}, N_{2}$ を求めよ．また $α = 30^{\circ}$ ， $β = 60^{\circ}$ のときの値を求め， $α = β$ の場合と $β \to 90^{\circ}$ の場合を調べよ．

**［図：V字の溝に置いた球］**
V字の溝に滑らかな球が置かれている．左の斜面は水平から角α，右の斜面は水平から角β．球の中心から，重力mgが下向き，左の斜面からの垂直抗力N1が斜面に垂直で鉛直から右へα傾いた向き，右の斜面からの垂直抗力N2が斜面に垂直で鉛直から左へβ傾いた向きに働く．

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球に働く力は $m g$ ， $N_{1}$ ， $N_{2}$ の3つ．斜面に垂直な力 $N_{1}$ は鉛直から $α$ 傾き， $N_{2}$ は鉛直から逆向きに $β$ 傾いている．水平方向と鉛直方向のつり合いは

N_{1} \sin α = N_{2} \sin β, N_{1} \cos α + N_{2} \cos β = m g

である．第1式から $N_{2} = N_{1} \sin α / \sin β$ ．第2式に入れて

N_{1} (\cos α + \frac{\sin α \cos β}{\sin β}) = m g ⟹ N_{1} = \frac{m g \sin β}{\sin (α + β)}, N_{2} = \frac{m g \sin α}{\sin (α + β)}

である（ $\sin α \cos β + \cos α \sin β = \sin (α + β)$ を使った）．ラミの定理でも同じ式になる．

$α = 30^{\circ}$ ， $β = 60^{\circ}$ では $\sin 90^{\circ} = 1$ なので $N_{1} = m g \sin 60^{\circ} \approx 0.87 m g$ ， $N_{2} = m g \sin 30^{\circ} = 0.50 m g$ （2つの斜面が直交しているので，重力を2つの垂線方向に分けた結果になる）．

検算： $α = β$ では $N_{1} = N_{2} = \frac{m g}{2 \cos α}$ ．これは $2 N \cos α = m g$ で，確かにつり合っている． $β \to 90^{\circ}$ （右が鉛直な壁）では $N_{1} = m g / \cos α$ ， $N_{2} = m g \tan α$ ．斜面と壁の間に球を置いた場合の結果に一致する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

同じ高さの2点に，線密度（単位長さあたりの質量） $λ$ が一様な鎖をたるませて吊るす．鎖は滑らかに曲がり，全質量は $M$ ，両端での鎖の向きは水平から角 $θ$ である．

鎖の各点での張力の水平成分は一定であることを示せ．
最も低い点での張力 $T_{0}$ と，端での張力 $T_{端}$ を $M, g, θ$ で表せ．
鎖上の点で，鎖の向きが水平から角 $φ$ のとき，その点の張力 $T$ を $T_{0}$ と $φ$ で表せ．

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**［図：たるんだ鎖の一部分］**
鎖の最低点から弧長sの部分を取り出し，両端の張力T₀，Tと重力λsgを示す．

鎖の一部分を考える．最低点から鎖に沿って距離 $s$ までの部分（質量 $λ s$ ）に働く力は，最低点側の張力（水平向き，大きさ $T_{0}$ ），その点での張力 $T$ （向きは水平から $φ$ 上向き），重力 $λ s g$ である．

この部分が静止していることから，水平方向のつり合いは $T \cos φ = T_{0}$ ．重力に水平成分がないので，どの点でも張力の水平成分は $T_{0}$ で一定である．
同じ部分の鉛直方向のつり合いは $T \sin φ = λ s g$ ．鎖の端（片側全体，質量 $M / 2$ ）では $T_{端} \sin θ = M g / 2$ なので

T_{端} = \frac{M g}{2 \sin θ}, T_{0} = T_{端} \cos θ = \frac{M g}{2 \tan θ}

である．

1. より $T = T_{0} / \cos φ$ ．また $T^{2} = T_{0}^{2} + (λ s g)^{2}$ とも書ける． $φ$ が大きい点（端に近い点）ほど張力が大きい． $θ \to 0$ （水平に近づける）で $T_{0}, T_{端} \to \infty$ になるのは，ハンモックの結果と同じである．

ポイント教える人へ

導入のハンモックは，式を出す前に「なぜだと思うか」と聞く．「体重を支える役に立つ成分は鉛直成分だけ」に自分で気づけると，この節の半分は終わっている．
多い間違いは，力を分解せずに大きさだけ足し合わせることと，角度の取り方（水平から測るか，鉛直から測るか）の取り違えである． $\sin$ と $\cos$ のどちらが付くかは，極端な角（0°や90°）で確かめさせると身につく．
つり合いの問題は，本文の手順（物体を決める，自由体図に力を全部描く，軸ごとに合力が0，極端な場合で検算）で確かめさせる．
理解の確かめ：糸の張力が「糸のどこでも同じ」でなくなるのはいつか（糸の質量が無視できないとき，例えば鎖の演習）を聞くと，仮定の意味が見える．剛体のつり合い（トルク）は後の章で扱うと，予告しておく．