APhO の問題を発展させる（1） | 問いから始める物理

総合演習 65

APhO 2003 第1問（改題） ★★★★☆

交流測定で容量と内部抵抗を分ける

未知素子を容量 $C$ と一定の直列内部抵抗 $r \geq 0$ で表します．外部抵抗 $R = 1.00 \times 10^{3} Ω$ を直列接続し，実効値 $V_{e} = 6.00 V$ の正弦波で駆動し，外部抵抗の実効値電圧 $V_{R, e}$ を測りました．電圧計の負荷と配線のインダクタンスは無視します．

$ω$ （ $rad s^{- 1}$ ）	$1.00 \times 10^{3}$	$2.00 \times 10^{3}$	$4.00 \times 10^{3}$
$V_{R, e}$ （ $V$ ）	4.04	4.97	5.32

**［図：交流電源と直列内部抵抗を含む容量の測定回路］**
交流電源，外部抵抗 R，未知素子の内部抵抗 r と容量 C を直列につなぐ．電源の実効値は V_e＝6.00 V，外部抵抗は R＝1.00×10³ Ω である．電圧計は外部抵抗 R だけに並列接続し，実効値 V_{R,e} を測る．

複素振幅を使い， $V_{R, e}$ の式を導け． $Y = {(V_{e} / V_{R, e})}^{2}$ ， $x = ω^{- 2}$ を使う直線化を示せ．
両端の値から $r, C$ を求め，中間の値を予測せよ． $r = 0$ の模型も検討せよ．
$ω = 2.00 \times 10^{3} rad s^{- 1}$ で外部抵抗を交換する．外部抵抗の平均電力を最大にする条件と電力を求め，電源と比べよ．

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考え方

集中定数回路を仮定し，傾きと切片で容量と損失を分ける．

$V (t), I (t)$ を $\hat{V} e^{i ω t}, \hat{I} e^{i ω t}$ の実部とする． $\hat{V} = \sqrt{2} V_{e}$ ， $X = 1 / (ω C)$ とおけば

Z = R + r + \frac{1}{i ω C} = R + r - i X, \hat{I} = \frac{\hat{V}}{Z}, V_{R, e} = \frac{R V_{e}}{\sqrt{{(R + r)}^{2} + X^{2}}} .

従って $Y = A + B x$ ，ただし $A = {(1 + r / R)}^{2}$ ， $B = 1 / (R^{2} C^{2})$ である．

表の両端を1，3と書くと， $B = (Y_{1} - Y_{3}) / (x_{1} - x_{3})$ ， $A = Y_{3} - B x_{3}$ ．代入して $A = 1.20973$ ， $B = 9.95935 \times 10^{5} s^{- 2}$ で，

r = R (\sqrt{A} - 1) ≃ 1.00 \times 10^{2} Ω, C = \frac{1}{R \sqrt{B}} ≃ 1.00 \times 10^{- 6} F .

中間の電圧は $4.9678 V$ で表と合う． $r = 0$ では切片1となり，両端を説明できない．

交換後も $R$ と書く． $D = {(R + r)}^{2} + X^{2}$ ， $I_{e} = V_{e} / \sqrt{D}$ より $P_{R} = V_{e}^{2} R / D$ ．微分すると

\frac{d P_{R}}{d R} = V_{e}^{2} \frac{r^{2} + X^{2} - R^{2}}{D^{2}}, R_{*} = \sqrt{r^{2} + X^{2}} .

微分は正から負へ変わる． $R_{*} ≃ 5.09 \times 10^{2} Ω$ ， $P_{R, *} ≃ 2.96 \times 10^{- 2} W$ ．容量の周期平均の仕事は0で，電源は内部損失も含め $P_{R} + I_{e}^{2} r ≃ 3.54 \times 10^{- 2} W$ を供給する．配線長 $ℓ$ ，寄生インダクタンス $L_{s}$ に対し $ω ℓ / c$ ， $ω L_{s} / | Z |$ が十分小さいことが条件である．

総合演習 66

APhO 2002 第3問（改題） ★★★★☆

干渉縞で分子の付着障壁を測る

気体分子の付着で，屈折率 $n = 1.50$ の一様な膜を作ります．気体圧力 $p$ と基板温度は一定，気体温度 $T$ は変更します．分子質量は $m = 5.00 \times 10^{- 26} kg$ ，1個あたりの膜体積は $Ω = 3.00 \times 10^{- 29} m^{3}$ です．膜に向かう法線速度 $v_{z} > 0$ が $m v_{z}^{2} / 2 \geq E_{a}$ を満たす分子だけ付着します．再蒸発，表面拡散，気体の枯渇は無視します．

気体の数密度は $n_{g} = p / (k_{B} T)$ ，法線速度の確率密度は

F (v_{z}) = \sqrt{\frac{m}{2 π k_{B} T}} \exp (- \frac{m v_{z}^{2}}{2 k_{B} T}) .

真空波長 $λ = 600 nm$ の光を垂直入射させると，隣り合う反射極小の間隔は， $T_{1} = 300 K$ で $Δ t_{1} = 40.0 s$ ， $T_{2} = 600 K$ で $Δ t_{2} = 4.00 s$ でした．空気，膜，基板の順に屈折率は大きく，多重反射と吸収を無視します． $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ ， $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ とします．

**［図：分子の法線速度と薄膜の垂直入射反射］**
法線速度 v_z＞0 の分子が膜に向かう．膜の屈折率は n＝1.50，膜厚は d で，その下に基板がある．真空波長 λ＝600 nm の光は垂直に入射する．上面で反射する光と，膜を通って下面で反射する光を，横に分けて示す．各光路の入射光と反射光は同じ鉛直線上を逆向きに進む．

分子の到達率 $J$ と，付着する割合を積分から求め，膜厚の増加率 $\frac{d d}{d t}$ を示せ．
反射の位相変化から，隣り合う極小の膜厚差を求めよ．極小で強度は必ず0になるか．
$E_{a}, p$ を求めよ．気体中の個数割合を付着割合に使えるかも述べよ．
模型を任意の $T > 0$ へ延ばし，成長率が最大になる温度を求めよ． $300$ 〜 $600 K$ に制限した場合と比べよ．

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考え方

到達数を速度で重み付けする．干渉から成長率を決める．

$a = m / (2 k_{B} T)$ ， $v_{a} = \sqrt{2 E_{a} / m}$ とおく．積分 $\int_{b}^{\infty} v e^{- a v^{2}} d v = e^{- a b^{2}} / (2 a)$ を使うと

J = n_{g} \int_{0}^{\infty} v_{z} F (v_{z}) d v_{z} = \frac{p}{\sqrt{2 π m k_{B} T}}, J_{a} = n_{g} \int_{v_{a}}^{\infty} v_{z} F (v_{z}) d v_{z} = J e^{- E_{a} / (k_{B} T)} .

付着割合は $J_{a} / J = e^{- E_{a} / (k_{B} T)}$ ，成長率は $u = \frac{d d}{d t} = Ω p e^{- E_{a} / (k_{B} T)} / \sqrt{2 π m k_{B} T}$ となる．

両反射の位相変化はともに $π$ で相殺される．往復の位相差 $4 π n d / λ$ が奇数倍の $π$ で極小となり，厚さ差は $δ d = λ / (2 n) = 200 nm$ ．振幅が異なれば強度は0にならない．
$u_{j} = δ d / Δ t_{j}$ より $u_{1} = 5.00 \times 10^{- 9} m s^{- 1}$ ， $u_{2} = 5.00 \times 10^{- 8} m s^{- 1}$ ．比で圧力が消え，

\ln \frac{u_{2}}{u_{1}} + \frac{1}{2} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{E_{a}}{k_{B}} (\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}) .

従って $E_{a} = 2.19 \times 10^{- 20} J = 0.137 eV$ ．丸める前の値では $e^{- E_{a} / (k_{B} T_{1})} = 0.00500$ であり，

p = \frac{u_{1} \sqrt{2 π m k_{B} T_{1}}}{Ω e^{- E_{a} / (k_{B} T_{1})}} = 1.20 Pa .

速い分子ほど頻繁に届くため，気体中の個数割合は使えない．

$\frac{d \ln u}{d T} = - 1 / (2 T) + E_{a} / (k_{B} T^{2})$ は正から負へ変わり，最大は $T_{*} = 2 E_{a} / k_{B} = 3.18 \times 10^{3} K$ ．低温の障壁と高温の数密度減少が成長を抑える．実験範囲では最大は $600 K$ ．高温の結果は再蒸発や物性変化を除く形式的な予測である． $Ω J$ は速度の次元を持つ．干渉では追加反射の振幅比と光学的吸収を十分小さいとしている．

総合演習 67

APhO 2001 第2問（改題） ★★★★★

仕事をしない磁場が回転を止める

質量 $m$ ，電荷 $+ q, - q$ の粒子を長さ $ℓ$ の軽い剛い絶縁棒で結び，磁場 $B = B e_{z}$ に垂直な平面で動かします． $- q$ から $+ q$ への相対位置を $r = ℓ (\cos θ, \sin θ)$ ，重心速度を $V$ とします．初期重心は原点， $θ = 0$ ， $V = U e_{y}$ ， $\frac{d θ}{d t} = w > 0$ です．まず $U \geq 0$ とします．重力，抵抗，放射，相対論的効果を無視します．静電エネルギーは距離一定で変化しません．

**［図：磁場中の電荷を結ぶ棒の初期状態］**
質量 m の電荷 −q と＋q を長さ ℓ の絶縁棒で結ぶ．初期重心は原点で，θ＝0 の棒は x 軸に沿い，−q が左，＋q が右にある．重心の初速度 U は＋y 向き，初期角速度 w＞0 は反時計回りである．緑の ⊙ は＋z 向きに紙面から出る一様磁場 B を表す．

全磁気力から $P = 2 m V - q r \times B$ が保存することを示せ． $b = q B ℓ / (2 m)$ とおき， $V_{x}, V_{y}$ を $θ$ で表せ．
エネルギー保存から $θ$ だけの式を導き，一回転できる初期角速度の条件を求めよ．等号で有限時間内に裏返るか．
一回転しない場合の角振幅，小振幅の周期，回転の限界での周期の振る舞いを求めよ．
$U = - b$ に変更する．角速度と軌跡を求め，磁場の仕事0と角速度の変化を整合させよ．

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考え方

棒は変形せず，内力の仕事の和は0である．相対位置を含む保存量で重心速度を消去する．

両粒子の速度は $V \pm \frac{d r}{d t} / 2$ ．磁気力を加えると $2 m \frac{d V}{d t} = q \frac{d r}{d t} \times B$ だから，指定の $P$ の微分は0になる． $r \times B = B ℓ (\sin θ, - \cos θ)$ より，初期値は $P = 2 m (U + b) e_{y}$ ．従って

V_{x} = b \sin θ, V_{y} = U + b (1 - \cos θ) .

慣性モーメントは $I = 2 m {(ℓ / 2)}^{2} = m ℓ^{2} / 2$ ．磁気力の仕事は0なので，全運動エネルギーが保存する．

{| V |}^{2} = U^{2} + 2 b (U + b) (1 - \cos θ), \frac{I}{2} {(\frac{d θ}{d t})}^{2} + 2 m b (U + b) (1 - \cos θ) = \frac{I}{2} w^{2} .

$Ω_{0}^{2} = 4 b (U + b) / ℓ^{2}$ とおけば， ${(\frac{d θ}{d t})}^{2} = w^{2} - 4 Ω_{0}^{2} \sin^{2} (θ / 2)$ ． $θ = π$ を通過する条件は $w > 2 Ω_{0}$ ．等号では $\frac{d θ}{d t} = 2 Ω_{0} \cos (θ / 2)$ である． $δ = π - θ$ が小さいと $\frac{d δ}{d t} ≃ - Ω_{0} δ$ ，従って $δ$ は指数的に0へ近づき，有限時間では裏返らない．

$0 < w < 2 Ω_{0}$ では $θ_{max} = 2 \arcsin [w / (2 Ω_{0})]$ ．小振幅では $\sin θ ≃ θ$ ．(2)の式を微分すると $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - Ω_{0}^{2} \sin θ ≃ - Ω_{0}^{2} θ$ なので $T ≃ 2 π / Ω_{0}$ ．限界では停止角が $π$ に近づく．(2)の $δ \propto e^{- Ω_{0} t}$ より， $δ$ を縮める時間は $- \ln δ / Ω_{0}$ に比例して増す．従って周期は対数的に発散する．
$U = - b$ では $P = 0$ ， $| V | = b$ が一定となる．回転のエネルギーも一定で， $θ = w t$ ．原点から積分して

X = \frac{b}{w} (1 - \cos w t), Y = - \frac{b}{w} \sin w t .

中心 $(b / w, 0)$ ，半径 $b / w$ の円を描く．(2)では並進の速さが増す分だけ回転が遅くなるので，磁場の仕事は0である．小振幅の条件は $w / (2 Ω_{0})$ が十分小さいことであり，各粒子の速さと光速の比も十分小さくする．

総合演習 68

APhO 2007 第3問（改題） ★★★★★

逆コンプトン光のエネルギーと検出角度

電子が $+ x$ 向きに全エネルギー $E = γ E_{0}$ ，運動量 $p$ で進み，エネルギー $ε = h c / λ$ の光子と正面衝突します．散乱光子のエネルギーは $ε^{'}$ ， $+ x$ 軸との角は $ϕ$ です．自由な電子と光子の1回の衝突を考えます．電子は $E^{2} = p^{2} c^{2} + E_{0}^{2}$ ， $E_{0} = m c^{2}$ ，光子には運動量の大きさ $ε / c$ が成り立ち， $0 < ε < p c$ とします．

**［図：電子と光子の正面衝突と散乱角］**
電子はエネルギー E＝γE_0，運動量 p で＋x 向きに進み，エネルギー ε＝hc/λ の光子は逆向きに進んで正面衝突する．散乱光子のエネルギーを ε′ とし，その進行方向と＋x 軸の間の角 φ を示す．

保存則から $ε^{'} (ϕ)$ と最大値を導け．
$γ ≫ 1$ として反跳補正 $a = 4 γ ε / E_{0}$ を残した最大値を近似せよ． $γ = 150$ ， $λ = 800 nm$ ， $E_{0} = 0.511 MeV$ ， $h c = 1.24 \times 10^{3} eV nm$ で，厳密な最大値と波長も求めよ．
小角でのエネルギーを近似し，検出光子がすべて最大値の0.90倍以上となる円錐の最大半角を求めよ．電子ビームのばらつきは無視せよ．
軸上の観測で，電子の相対エネルギー幅 $s$ が光子の幅へどう伝わるか求めよ．波長一定で， $a$ の大小を比べよ．

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考え方

散乱電子の方向を消去し，質量一定の条件を使う．散乱確率は求めない．

散乱電子のエネルギーと運動量は

E_{f} = E + ε - ε^{'}, p_{f}^{2} c^{2} = {(p c - ε)}^{2} + ε^{' 2} - 2 (p c - ε) ε^{'} \cos ϕ .

これを $E_{f}^{2} - p_{f}^{2} c^{2} = E^{2} - p^{2} c^{2}$ に代入して展開すると

ε (E + p c) = ε^{'} [E - p c \cos ϕ + ε (1 + \cos ϕ)] .

$H = E + p c$ ， $D = E - p c + 2 ε$ とおけば

ε^{'} (ϕ) = \frac{ε H}{D + (p c - ε) (1 - \cos ϕ)} .

$ϕ = 0$ で分母が最小となり， $ε_{max}^{'} = ε H / D$ ． $ϕ = π$ では $ε^{'} = ε$ に戻る．

$p c = E_{0} \sqrt{γ^{2} - 1} ≃ γ E_{0} - E_{0} / (2 γ)$ より $H ≃ 2 γ E_{0}$ ， $D ≃ E_{0} (1 + a) / (2 γ)$ ．従って

ε_{max}^{'} ≃ \frac{4 γ^{2} ε}{1 + a} .

数値は $ε = 1.55 eV$ ， $a = 0.00182$ ．厳密式は $ε_{max}^{'} = 0.139 MeV$ ， $λ^{'} = h c / ε_{max}^{'} = 8.91 \times 10^{- 3} nm$ を与える．

$1 - \cos ϕ ≃ ϕ^{2} / 2$ ， $p c - ε ≃ γ E_{0}$ を(1)に代入して

ε^{'} (ϕ) ≃ \frac{4 γ^{2} ε}{1 + a + γ^{2} ϕ^{2}} .

最大値との比は $(1 + a) / (1 + a + γ^{2} ϕ^{2})$ ．これを0.90以上とすれば $ϕ_{*} ≃ \sqrt{(1 + a) / 9} / γ = 2.22 \times 10^{- 3} rad$ ．縁でエネルギーが最小となる．収量は決まらない．

$a$ は $γ$ に比例するので，(2)の対数微分は

\frac{d \ln ε_{max}^{'}}{d \ln γ} = 2 - \frac{a}{1 + a} = \frac{2 + a}{1 + a} .

光子の幅は $(2 + a) s / (1 + a)$ ．小さい $a$ では約 $2 s$ ， $a ≫ 1$ では約 $s$ である．後者では $ε_{max}^{'} ≃ γ E_{0} = E$ となり，反跳が増幅を抑える．条件は $1 / γ^{2}, ϕ^{2}, ε / E, s$ が十分小さいことである． $4 γ^{2} ε$ の式にはさらに小さい $a$ が必要で，数値例は満たす．