導体とコンデンサー

問い

雷が自動車に落ちても，窓を閉めて中に座っている人はふつう無事です．雷の電流は数万アンペア，雲と地面の電位差は1億ボルトにもなります．金属は電気をよく通すのに，なぜ金属の車体に囲まれた人は守られるのでしょうか．

考えてみる

「ゴムのタイヤが電気を止めるから」と考えたくなりますが，1億ボルトの前では数センチのゴムは役に立ちません．かといって，金属が電気をよく通すなら，中の人にも電気が回ってきそうです．鍵は，金属の中の電子が自由に動けることにあります．電子は，金属の中に電場がある限り動き続け，電場が消えるように並び直します．すると，金属に囲まれた空間にも電場が入ってこられなくなります．この題材ではまず止まった電荷（静電平衡）で考え，そのあと，蓄える電荷とエネルギーを数える道具としてコンデンサーを扱います．

導体の中に電場はない

導体を電場の中に置くと，自由電子が電場と逆向きに動き，表面の一方に負，反対側に正の電荷が現れます（静電誘導）．この電荷の作る電場が外からの電場を打ち消すまで，電子の移動は続きます．金属ではこの並び直しはきわめて短い時間で終わります．

4 は，表面をまたぐ薄い箱にガウスの法則を使うと出ます．中の電場は0なので，流束は外側の底面からだけ出て $ES=\sigma S/{\epsilon }_0$ です．1枚の平面電荷の $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ と違うのは，電気力線が片側にしか出ないからです．

表面の電荷は一様とは限りません．半径 $r_1$，$r_2$ の2つの導体球を遠く離して細い導線でつなぐと，両方の電位 $k{Q}_1/r_1=k{Q}_2/r_2$ が等しくなるので $Q\propto r$，面電荷密度は $\sigma \propto Q/r^2\propto 1/r$ です．小さい球ほど表面の電場が強くなります．1つの導体でも，曲がり方の急な，とがった所に電荷が集まり，電場が強くなります．避雷針はとがった先で空気を電離させ，雷を自分の所へ導きます．

静電遮蔽

導体の中にある空洞を考えます．

空洞に電荷がない場合　空洞の中の電場は0です．空洞の壁は1つの導体の表面なので等電位で，空洞の中には電荷がありません．前の題材で見たように，電荷の無い所の電位には極大も極小もないので，壁の上で一定の電位は，空洞の中でもその値のままです．外にどんな電荷があっても，空洞の中には電場が入りません．これを静電遮蔽といいます．

空洞に電荷 $q$ を置いた場合　空洞を囲むガウス面を導体の中にとると，その上で $E=0$ なので，中の電荷の和は0です．空洞の壁（内表面）には $-q$ が誘導されます．導体がもともと中性なら，電荷の保存から外表面に $+q$ が現れます．外表面の電荷の分布は外表面の形だけで決まり，空洞の中のどこに $q$ があるかによりません．このとき外には電場が出ます．導体を接地すると，外表面の $+q$ は地面へ流れて外の電場は消えますが，空洞の中の電場は残ります．空洞の中の $q$ は内表面の $-q$ から力を受け，空洞が球形で $q$ が中心からずれていれば，近い壁へ引かれます．

解は1つに決まる

導体の表面の電位と，空間にある電荷を決めると，電位は1つに決まります．2つの解 $V_1$，$V_2$ があったとすると，差 $V_1-V_2$ は空間の電荷が打ち消し合った，電荷の無い場合の電位で（各点の形ではラプラス方程式の解），境界ではどこでも0です．電荷の無い所の電位には極大も極小もないので，差は至る所で0です．

これを使うと，うまく見つけた解は正しいと言えます．接地した広い導体平面から高さ $a$ に点電荷 $q$ を置くと，平面の反対側の対称な点に $-q$ を置いた2つの点電荷の電位は，平面の上でちょうど0になり，平面より上にある電荷は $q$ だけです．したがって，これが平面より上の本当の電位です（鏡像法）．$q$ は平面に ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{q^2}{(2a{)}^2}}$ の力で引かれます．くわしくは例題の節で扱います．

コンデンサー

2つの導体に $+Q$ と $-Q$ の電荷を与えると，間に電位差 $V$ が生じ，$V$ は $Q$ に比例します．$Q=CV$ の $C$ を電気容量といい，単位は $\mathrm{F}=\mathrm{C}{\mathrm{V}}^{-1}$（ファラド）です．

面積 $S$ の2枚の極板を間隔 $d$ で向かい合わせた平行板コンデンサーでは，極板の間の電場は $E=\sigma /{\epsilon }_0=Q/({\epsilon }_{0}S)$，電位差は $V=Ed$ なので

です．縁で電場がはみ出す効果を無視したので，$d$ が $\sqrt{S}$ よりずっと小さいことが条件です．$d=1\mathrm{mm}$ で $1\mathrm{F}$ を作るには，一辺が約 $10\mathrm{km}$ の極板が要ります．半径 $a$ の導体球を半径 $b$ の導体球殻で同心に囲んだ球形コンデンサーでは，間の電位差が ${\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}}({\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})$ なので $C=4\pi {\epsilon }_0{\displaystyle \frac{ab}{b-a}}$ です．

コンデンサーを並列につなぐと電圧が共通で電荷が足し合わされ $C=C_1+C_2$，直列につなぐと間の孤立した部分の電荷が $+Q$ と $-Q$ に分かれて電圧が足し合わされ ${\displaystyle \frac{1}{C}}={\displaystyle \frac{1}{C_1}}+{\displaystyle \frac{1}{C_2}}$ です．

極板の電荷を初めから $+Q$，$-Q$ と決めつけてはいけません．たとえば，帯電した金属板を2つの極板の間に入れると，その板の両面の電荷の大きさは一般に違います．

蓄えるエネルギーと極板の間の力

電荷 $q$ のコンデンサーに $\mathrm{d}q$ を運ぶ仕事は $V\mathrm{d}q=(q/C)\mathrm{d}q$ です．0から $Q$ まで積分すると，蓄えられるエネルギーは

です．平行板では $U={\displaystyle \frac{1}{2}}{\epsilon }_0{E}^2\cdot Sd$ と書けるので，エネルギーは電場のある体積に ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\epsilon }_0{E}^2$ の密度で蓄えられていると見ることもできます（第24章でこの見方が正しいことを確かめます）．

極板の間の力を，間隔 $x$ を変えたときのエネルギーの変化から求めます．

電荷一定（電源から切り離す）．$U={\displaystyle \frac{Q^{2}x}{2{\epsilon }_{0}S}}$ なので，力は $F=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x=-{\displaystyle \frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}}$ で，引力です．$QE={\displaystyle \frac{Q^2}{{\epsilon }_{0}S}}$ の半分なのは，極板の電荷を押すのは相手の極板の電場 $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ だけで，自分の電荷の電場は自分を押さないからです．

電圧一定（電源につないだまま）．$x$ を $\mathrm{d}x$ 変えると容量が $\mathrm{d}C$ 変わり，電荷が $\mathrm{d}Q=V\mathrm{d}C$ 流れ込み，電源が $V\mathrm{d}Q=V^2\mathrm{d}C$ の仕事をします．そのうち $\mathrm{d}U={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}^2\mathrm{d}C$ がエネルギーの増加で，残りが電気の力のする仕事 $F\mathrm{d}x$ です．

で，電荷一定のときと同じ力になります．力は極板の電荷とその場所の電場で決まり，電源の有無によりません．電圧一定で $-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x$ を計算すると符号が逆になってしまうのは，電源の仕事を数え忘れたからです．

問いに戻る

車体は金属の殻です．静電平衡では導体の中の電場は0で，中に電荷のない空洞の中にも，外からの電場は入りません．雷の電荷は外表面を伝わって地面へ逃げ，中の人には電位差がかかりません．ただし，これは静電気の話です．雷の電流は100万分の1秒ほどで大きく変わりますが，速く変わる場でも金属の表面を流れる電流が中を守ることを，第23章で見ます．窓が開いていたり，車体が金属でない（樹脂の屋根の）車では，この守りは弱くなります．