電荷と電場

電位と静電エネルギーの演習

著者：柚木芹香

電場のする仕事と外力のする仕事の符号を区別してください．以下では $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とし，点電荷の電位は無限遠を0とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

電位が $x$ だけで変わる領域で，次の測定値を得た．測定点間を直線で結ぶ模型を使う．

$x / cm$	0	1.0	3.0
$V / V$	80	50	10

各区間で電場の成分 $E_{x}$ を求めよ．
電荷 $q = 2.0 \times 10^{- 9} C$ を左端から右端へゆっくり運ぶ外力の仕事を求めよ．電位の全測定値に同じ定数を加えると，答えは変わるか．

**［図：電位の三つの測定値］**
表の3測定点をVとxの平面に描き，点間を直線で結ぶ．電場の値は記さない．

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考え方
電場は電位の傾きの負であり，仕事は端点間の電位差で決まる．

$E_{x} = - \frac{d V}{d x}$ ．最初の区間は $- (50 - 80) / 0.010 = 3.0 \times 10^{3} V m^{- 1}$ ，次は $- (10 - 50) / 0.020 = 2.0 \times 10^{3} V m^{- 1}$ ．ともに右向きである．
$W_{ext} = q Δ V = (2.0 \times 10^{- 9}) (10 - 80) = - 1.4 \times 10^{- 7} J$ ．電場は正の仕事をし，外力はエネルギーを取り出す．基準を変えても差と傾きは変わらない．ただし点間の直線性は測定だけから確定せず，模型の仮定である．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

電子を電位 $- 40.0 V$ の点Aから静かに放すと，電位 $110 V$ の点Bへ達した．電気力以外を無視する． $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $m = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．Bでの運動エネルギーをジュールと電子ボルトで，速さを古典的な運動方程式の範囲で求めよ．電子ボルトは電気素量に $1 V$ を掛けたエネルギーである．

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考え方
電子の電荷は負なので，高い電位へ動くと位置エネルギーが減る．

$Δ U = - e (V_{B} - V_{A}) = - 150 e V$ ．エネルギー保存から $K = - Δ U = 2.40 \times 10^{- 17} J = 150 eV$ ． $m v^{2} / 2 = K$ より $v = \sqrt{2 K / m} = 7.26 \times 10^{6} m s^{- 1}$ ． $v / c = 0.0242$ ，その2乗は $5.85 \times 10^{- 4}$ で十分小さく，古典的な計算の適用条件を満たす．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

正電荷 $Q$ を原点に固定する．質量 $m$ ，正電荷 $q$ の粒子が，無限遠で速さ $u$ をもち，入射直線と原点の距離が $b > 0$ となるように近づく．電気力以外を無視する．
粒子の速さは光速より十分小さいとする．

原点からの最接近距離 $r_{min}$ を求めよ．
$b \to 0$ と $Q \to 0$ の極限を説明せよ．

**［図：遠方での入射直線と原点］**
原点の電荷Q，遠方の入射直線と速度u，原点から直線への垂線bを描く．軌道と最接近点は描かない．

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考え方
中心力なので角運動量も保存する．最接近点で消えるのは半径方向の速度である．

無限遠のエネルギーは $m u^{2} / 2$ ，角運動量は $m u b$ ．最接近点の接線速度を $v_{t}$ とすると $m r_{min} v_{t} = m u b$ ，従って $v_{t} = u b / r_{min}$ ．電位 $V = k Q / r$ を使うと

\frac{m u^{2}}{2} = \frac{m u^{2} b^{2}}{2 r_{min}^{2}} + \frac{k Q q}{r_{min}} ．

$α = k Q q / (m u^{2})$ と置けば $r_{min}^{2} - 2 α r_{min} - b^{2} = 0$ ．負の根は距離にならず， $r_{min} = α + \sqrt{α^{2} + b^{2}}$ ．

正面から近づく極限は $r_{min} = 2 k Q q / (m u^{2})$ で，初期の運動エネルギーがすべて位置エネルギーになる． $Q \to 0$ では $r_{min} \to b$ となり，直進の最短距離に戻る． $α$ は長さの次元をもつ．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

直角二等辺三角形の頂点 $A = (0, 0), B = (a, 0), C = (0, a)$ に，順に電荷 $+ Q, + Q, - 2 Q$ を置く． $a, Q > 0$ とする．

無限遠からA，B，Cの順にゆっくり運んで組み立てるとき，各段階の外力の仕事と全静電エネルギーを求めよ．
A，Bを固定してCの電荷だけを無限遠へ運ぶ外力の仕事を求めよ．各電荷は一定とする．

**［図：三角形の電荷とCの電荷を取り去る操作］**
三角形ABCと辺a，a，各電荷を示す．Cの電荷を取り去る操作を矢印で描く．

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考え方
運び込む電荷には，先に置いた電荷による電位だけを使う．各組の相互作用を1回ずつ数える．

最初の仕事は0．Bを運ぶ仕事は $W_{B} = Q (k Q / a) = k Q^{2} / a$ ．Cでは $V_{C} = k Q / a + k Q / (\sqrt{2} a)$ なので $W_{C} = (- 2 Q) V_{C} = - (2 + \sqrt{2}) k Q^{2} / a$ ．合計は $U = - (1 + \sqrt{2}) k Q^{2} / a$ である．
Cが無限遠にある終状態ではA，Bの相互作用だけが残り， $U_{f} = k Q^{2} / a$ ．よって $W_{ext} = U_{f} - U = (2 + \sqrt{2}) k Q^{2} / a > 0$ ．固定されたA，Bの支持力は変位がないので仕事をしない． $a \to \infty$ で両方のエネルギーと仕事は0に近づく．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

線電荷密度 $λ > 0$ の無限に長い糸から距離 $r_{0}$ の位置に，長さ $ℓ$ の軽い剛い棒の中心を固定する．棒の両端の粒子は各質量 $m$ ，電荷は $+ q, - q$ （ $q > 0$ ）で， $p = q ℓ$ とする．棒は糸に垂直な平面内で回り，双極子モーメントと外向き半径方向の角を $θ$ とする． $q, λ$ は一定である．

$θ = 0$ 付近の小振動の角振動数を求めよ．
$θ = 0$ の向きで棒を静止させ，中心の固定を外す瞬間の，棒全体への半径方向の力を求めよ．両小問で $ℓ / r_{0}$ が十分小さい近似を使い，重力を無視する．

**［図：帯電した糸の断面と回転する棒］**
糸の断面と中心までの距離r₀，長さℓの棒，各端の電荷，外向き半径との角θを示す．

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考え方
向きによるエネルギーの変化はトルク，位置による変化は力を与える．双極子の電荷を一定として微分する．

糸の場は $E (r) = λ / (2 π ε_{0} r)$ ．中心付近で一様とみなし， $U = - p E (r_{0}) \cos θ$ ．トルクは $- \frac{d U}{d θ} = - p E (r_{0}) \sin θ \approx - p E (r_{0}) θ$ ．慣性モーメントは $2 m (ℓ / 2)^{2} = m ℓ^{2} / 2$ なので

\frac{m ℓ^{2}}{2} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - p E (r_{0}) θ, ω = \sqrt{\frac{p λ}{π ε_{0} m ℓ^{2} r_{0}}} ．

$θ = 0$ を保つと $U (r) = - p λ / (2 π ε_{0} r)$ ．従って $F_{r} = - \frac{d U}{d r} = - p λ / (2 π ε_{0} r_{0}^{2})$ で糸へ向かう．近い側の負電荷への内向きの力が強いこととも合う．近似条件は $ℓ / r_{0}$ と角振幅が十分小さいことである．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

ある領域の電位は $V = V_{0} + α (x^{2} + y^{2}) + β z^{2}$ である． $α > 0$ ， $β$ は定数で，単位はともに $V m^{- 2}$ とする．

勾配で電場を求め，この領域に電荷がないための $β$ の条件をラプラス方程式で求めよ．
その条件で等電位面 $V = V_{0}$ の形を述べ，原点の正電荷 $q$ のつり合いが3次元で安定か判定せよ．

**［図：原点の正電荷と三つの座標軸］**
原点Oとx，y，zの座標軸，原点の正電荷qを描く．等電位面と力は描かない．

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考え方
各方向の曲率の和が0でも，個々の方向の曲率は0とは限らない．安定性は方向ごとに調べる．

$E = - \nabla V$ より $E_{x} = - 2 α x$ ， $E_{y} = - 2 α y$ ， $E_{z} = - 2 β z$ ． $\nabla^{2} V = \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} = 4 α + 2 β$ だから，電荷のない条件は $β = - 2 α$ ．
$x^{2} + y^{2} = 2 z^{2}$ となり，z軸を軸とする上下の円すい面である．原点の場は0だが， $F_{z} = 4 q α z$ は変位と同じ向きなので不安定である． $x, y$ 方向には復元力がある．微小な立方体で流束を数えると，x，y方向の寄与 $- 2 α, - 2 α$ とz方向の $4 α$ が相殺され，電荷のない条件とも一致する．

ポイント教える人へ

電位の基準を変えても電場と仕事が変わらない理由を説明させる．
負電荷の位置エネルギーと電位の増減を混同させない．
最接近点で接線方向の速度が残ること，静電エネルギーで組を二重に数えないことを問う．
双極子近似と小角近似の条件を別々に述べさせ，静電場のつり合いを各方向で確かめる．